简单闭曲线 C 将平面分为内部与外部，且 C 为两者的边界

hbghlyj

Jordan 曲线定理：  
设 $h: S^1\to\mathbb{R}^2$ 是一个连续单射，其像为简单闭曲线 $C=h(S^1)$。则补集$\mathbb{R}^2\setminus C$恰有两个连通分支，其中一个有界（内部），另一个无界（外部）。
Strickland 教材

通过添加无穷远点，我们把平面视为球面 $S^2=\mathbb{R}^2\cup\{\infty\}$，此时 $C$ 对应于嵌入 $h:S^1\hookrightarrow S^2$。应用 Mayer–Vietoris 序列，可证明 $$H_i(S^2\setminus h(S^1))\cong H_i(S^0)$$其中 $H_0(S^2\setminus h(S^1))\cong\mathbb{Z}^2$ 表明补空间恰有两个连通分支。通过球极投影区分哪一分支含无穷远点，从而判断外部、内部。

hbghlyj

对于任意 $0\le k\le n-1$，嵌入 $h: S^k\hookrightarrow S^n$ 有
$$\tilde H_i\bigl(S^n\setminus h(S^k);\mathbb{Z}\bigr)\cong \tilde H_i\bigl(S^{n-k-1};\mathbb{Z}\bigr)$$
证明

• 圆盘嵌入的补空间同调Acyclic
  • 归纳基：当 $k=0$ 时，$D^0$ 是一点，$S^n\setminus\{\text{点}\}\simeq S^{n-1}$
  • 归纳步：将 $D^k=I^{k-1}\times[0,1]$ 拆成两半，用 Mayer–Vietoris 序列结合归纳假设，证明补空间 $\tilde H_i=0$；若出现非零类，构造\begin{align*}
    D_0&=I^{k-1}\times[0,1]\\
    D_1&=I^{k-1}\times\bigl[0,\tfrac12\bigr]\\
    D_2&=I^{k-1}\times\bigl[0,\tfrac14\bigr]\\
    &\dots\\
    D_0&\supset D_1\supset D_2\supset \cdots\\
    \bigcap_j D_j&= I^{k-1}\times\{c\}
    \end{align*}利用补空间的包含关系和奇异链的紧致性：任何代表该同调类的有限链都只能落在某个足够大的 $D_j$的补集里，但根据归纳假设，这时补集的同调已经为零，就产生了矛盾，从而完成证明。
• 球面嵌入的补空间同调 将 $S^k$ 写作两个 $D^k$ 沿 $S^{k-1}$ 黏合，分别取补集 $V,W$（由圆盘情形可知各自Acyclic），再用 Mayer–Vietoris 序列得$$\tilde H_i\bigl(S^n\setminus h(S^k)\bigr)\cong \tilde H_{i+1}\bigl(S^n\setminus h(S^{k-1})\bigr)\cong \tilde H_i\bigl(S^{n-k-1}\bigr).$$