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经典数论更以研究对象为区分标准，而非证明方法本身。它关注整数、有理数、同余和丢番图方程，置于一个可被十八世纪数论学家识别的框架中。代数数论由于在抽象层面引入了域扩张与理想理论，解析数论以复分析、调和分析工具为特征，且更强调对数论问题解的近似计数。
在十八世纪，数学家确实尝试对可解的数论问题进行计数，但他们追求的是精确答案，这也因此严重限制了可解问题的范围。从 Euler 在数论领域对素数分布、ζ 函数及φ 函数等方面的开创性贡献来看，他完全具备了发现并推广近似计数结果的能力，只是当时尚未将此类思路付诸研究。
对近似答案在数论中的系统性接受真正兴起于十九世纪，这也标志着解析数论的开始。
1808 年，Legendre 提出对素数计数函数 $π(x)$ 的近似公式
$$
\pi(x)\approx \frac{x}{\ln(x)-1.08366},
$$1838 年，Dirichlet 在其论文中首次证明了从 1 到 n 的整数平均约数个数的渐近公式
$$
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n d(k)\sim \ln n + 2\gamma -1,
$$
并以此实现了对约数个数的近似。 |
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