过定点的直线与两曲线的交点距离极值

hbghlyj

给定两任意光滑曲线 $c_1$ 和 $c_2$，通过点 $O$ 的直线交 $c_1$ 和 $c_2$ 于点 $A$ 和 $B$。若 $AB$ 的长度为极值，在 $A$、$B$ 处的切线(不垂直或平行于 $AB$)交点 $C$ 到 $AB$ 的垂足为 $D$，则 $OA=BD$.

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曲线 $c_1$ 和 $c_2$ 局部极坐标表示为 $r = r_1(\theta)$ 和 $r = r_2(\theta)$。
定义单位向量：直线方向 $\mathbf{u}(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta)$，垂直方向 $\mathbf{v}(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta)$
位置向量：
$\mathbf{a}(\theta) = r_1(\theta)\mathbf{u}(\theta)$,
$\mathbf{b}(\theta) = r_2(\theta)\mathbf{u}(\theta)$.
假设 $r_2(\theta) > r_1(\theta)$。长度 $|AB| = r_2(\theta) - r_1(\theta)$。极值条件 $\frac{d}{d\theta}|AB| = 0$ 得 $r_1'(\theta) = r_2'(\theta) = r'$。

对于极坐标曲线 $r = f(\theta)$，位置向量为 $f(\theta)\mathbf{u}(\theta)$。其切向量为：
$$\mathbf{t}(\theta) = \frac{d}{d\theta}(f(\theta)\mathbf{u}(\theta)) = f'(\theta)\mathbf{u}(\theta) + f(\theta)\mathbf{u}'(\theta).$$
因 $\mathbf{u}'(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \mathbf{v}(\theta)$，故：
$$\mathbf{t}(\theta) = f'(\theta)\mathbf{u}(\theta) + f(\theta)\mathbf{v}(\theta).$$
因此，$A$ 处切向量：
$$\mathbf{t}_A = r_1'(\theta)\mathbf{u}(\theta) + r_1(\theta)\mathbf{v}(\theta) = r'\mathbf{u}(\theta) + r_1(\theta)\mathbf{v}(\theta),$$
$B$ 处切向量：
$$\mathbf{t}_B = r_2'(\theta)\mathbf{u}(\theta) + r_2(\theta)\mathbf{v}(\theta) = r'\mathbf{u}(\theta) + r_2(\theta)\mathbf{v}(\theta).$$
切线不垂直于 $AB$（方向为 $\mathbf{u}(\theta)$）要求 $r' \neq 0$。
切线交点 $C$ 的位置向量 $\mathbf{c}$ 满足：
$$\mathbf{c} = \mathbf{a} + s \mathbf{t}_A = \mathbf{b} + t \mathbf{t}_B,$$
即：
$$r_1\mathbf{u} + s(r'\mathbf{u} + r_1\mathbf{v}) = r_2\mathbf{u} + t(r'\mathbf{u} + r_2\mathbf{v}).$$
展开：
$$(r_1 + s r')\mathbf{u} + s r_1 \mathbf{v} = (r_2 + t r')\mathbf{u} + t r_2 \mathbf{v}.$$
由于 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 线性无关，系数相等：
$$r_1 + s r' = r_2 + t r'\tag1$$
$$s r_1 = t r_2 \implies t = s \frac{r_1}{r_2}$$
代入 (1)：
$$r_1 + s r' = r_2 + s \frac{r_1}{r_2} r' \implies r_1 - r_2 = s r' \left( \frac{r_1}{r_2} - 1 \right) = s r' \frac{r_1 - r_2}{r_2}.$$
因 $r_1 \neq r_2$，得：
$$1 = s \frac{r'}{r_2} \implies s = \frac{r_2}{r'}.$$
于是：
$$\mathbf{c} = r_1\mathbf{u} + \frac{r_2}{r'}(r'\mathbf{u} + r_1\mathbf{v}) = (r_1 + r_2)\mathbf{u}(\theta) + \frac{r_1 r_2}{r'}\mathbf{v}(\theta).$$
投影 $C$ 至 $AB$ 得 $D$：\[\mathbf{d} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{u}(\theta))\mathbf{u}(\theta) = (r_1 + r_2)\mathbf{u}(\theta)\]
验证：
$$BD=|\mathbf{d} - \mathbf{b}|= r_1=OA$$

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一般定理
设 $A$、$B$、$O$ 为线 $L$ 上三异点。设 $A_1$、$B_1$ 为平面中两点，使 $A_1$、$O$、$B_1$ 共线。设 $A'$、$B'$ 为 $A_1$、$B_1$ 在 $L$ 上的投影。$\vec{AA'} = \vec{BB'}$。
若 $C$ 为线 $AA_1$ 与 $BB_1$ 的交点，$D$ 为 $C$ 在 $L$ 上的投影，则 $\vec{AO} = \vec{DB'}$.

一般定理成立，其极限形式等价于原定理。
证明
置$O$ 于原点，线 $L$ 为 x-轴。定义坐标：$A$ 于 $-a$，$B$ 于 $b$。点 $A_1$、$B_1$ 满足 $A_1$、$O$、$B_1$ 共线，且 $\vec{AA'} = \vec{BB'}$，其中 $A'$、$B'$ 为 $A_1$、$B_1$ 在 $L$ 上的投影。水平位移为 $\delta$，故 x-坐标：$x_{A'} = -a + \delta$，$x_{B'} = b + \delta$。设 $A_1$、$B_1$ 的 y-坐标为 $y_1$、$y_2$。完整坐标：$A_1 = (-a + \delta, y_1)$，$B_1 = (b + \delta, y_2)$。
$A_1$、$O$、$B_1$ 共线$\iff OA_1$ 与 $OB_1$ 的斜率相等：\[\frac{y_1}{-a + \delta} = \frac{y_2}{b + \delta}\tag{1} \label{eq:slope}\]求线 $AA_1$ 与 $BB_1$ 的交点 $C$，其投影 $D$ 于 $L$。

通过斜率相等解得 $x_D = b - a + \delta$

线 $AA_1$ 的斜率为 $m_A = y_1 / \delta$，线 $BB_1$ 的斜率为 $m_B = y_2 / \delta$。点斜式方程：\begin{align*}AA_1: \quad y &= \frac{y_1}{\delta}(x + a), \\BB_1: \quad y &= \frac{y_2}{\delta}(x - b).\end{align*}在交点 $C$，y-坐标相等，故 x-坐标 $x_D$ 满足：\[\frac{y_1}{\delta}(x_D + a) = \frac{y_2}{\delta}(x_D - b) \implies y_1(x_D + a) = y_2(x_D - b).\]由 $\eqref{eq:slope}$，$y_2 = y_1 \frac{b + \delta}{-a + \delta}$。代入： \[y_1(x_D + a) = \left(y_1 \frac{b + \delta}{-a + \delta}\right)(x_D - b).\] 假设 $y_1 \neq 0$，消去 $y_1$ 并乘以 $-a + \delta$： \[(x_D + a)(-a + \delta) = (b + \delta)(x_D - b).\] 展开\[-a x_D + \delta x_D - a^2 + a \delta = b x_D - b^2 + \delta x_D - b \delta\]$\delta x_D$ 项抵消。整理\begin{align*}
b^2 - a^2 + a\delta + b\delta &= a x_D + b x_D \\
(b+a)(b-a) + \delta(a+b) &= x_D(a+b)
\end{align*}除以 $a + b$（因 $A \neq B$）：\[x_D = b - a + \delta.\]

验证 $AO=DB'$

从 $A(-a)$ 到 $O(0)$，$AO=a$.
从 $D(b - a + \delta)$ 到 $B'(b + \delta)$，$DB'=a$.

极限$\delta \to 0$下，$B' \to B$，得 $AO=DB$，即原问题

• 前提：$|AB|$ 极值条件意味着无穷小投影位移相等 $AA'=BB'$。
• 割线趋于切线：原问题中，$C$ 为 $A$、$B$ 处切线的交点。一般定理中，$C$ 为割线 $AA_1$、$BB_1$ 的交点。当位移 $\delta \to 0$，$A_1 \to A$、$B_1 \to B$，割线趋于切线。
• 结论：一般定理结论为 $AO = DB'$。当 $\delta \to 0$，$B' \to B$，结论变为 $AO = DB$。