“推广平行”传递性的失效

hbghlyj

度量空间的两个子集 $P$ 和 $Q$ 称为平行的，如果存在一个实数 $d\ge0$，使得 $P$ 中的每一个点，到 $Q$ 的最短距离都等于 $d$；反之，$Q$ 中的每一个点，到集合 $P$ 的最短距离也等于 $d$。

这个定义推广了欧几里得空间中平行线/平行面的处处等距。
平行的传递性还成立吗？
反例：$S^3$ 中的Clifford parallel
\begin{align*}
& P_1=\left\{(x, y, x, y): x^2+y^2=1 / 2\right\} \\
& P_2=\left\{(x, y, 0,0): x^2+y^2=1\right\} \\
& P_3=\left\{(x, y, x,-y): x^2+y^2=1 / 2\right\}
\end{align*}
$P_1$ 平行于 $P_2$，$P_3$ 平行于 $P_2$，然而，$P_1$ 和 $P_3$ 并不平行，因为它们交于 $\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$，所以这两点到 $Q$ 的最短距离为 $0$ 而 $P$ 中的其他点到 $Q$ 的最短距离 $>0$，不满足处处等距。

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在球面 $S^3$ 上，两点 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 之间的距离是 $\arccos(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})$.

• 计算从 $P_1$ 的任意一点到 $P_2$ 的最短距离。
  取 $P_1$ 中任意一点 $\mathbf{p_1} = (x, y, x, y)$，其中 $x^2+y^2 = 1/2$。
  取 $P_2$ 中任意一点 $\mathbf{p_2} = (a, b, 0, 0)$，其中 $a^2+b^2 = 1$。
  两点间的距离为 $\arccos(\mathbf{p_1} \cdot \mathbf{p_2})$。要使距离最短，我们需要最大化它们的点积\[\mathbf{p_1} \cdot \mathbf{p_2} = ax + by\]
  对于一个固定的点 $\mathbf{p_1}$，在 $a^2+b^2=1$ 的约束下，最大化 $ax+by$ 可以通过柯西不等式得到：
  $$(ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) = (1) \cdot (1/2) = 1/2$$
  所以，$ax+by$ 的最大值为 $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2}$。
  因此，对于 $P_1$ 中的任意一点，它到 $P_2$ 的最短距离都是：
  $$d = \arccos(1/\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}$$
• 计算从 $P_2$ 的任意一点到 $P_1$ 的最短距离。
  取 $P_2$ 中任意一点 $\mathbf{p_2} = (a, b, 0, 0)$。
  我们需要最大化点积 $\mathbf{p_1} \cdot \mathbf{p_2} = ax + by$，其中 $x^2+y^2=1/2$。
  同样根据柯西不等式，最大值仍然是 $1/\sqrt{2}$。
  所以，对于 $P_2$ 中的任意一点，它到 $P_1$ 的最短距离也是 $\frac{\pi}{4}$。

因此 $P_1$ 和 $P_2$ 平行。

类似证明 $P_3$ 平行于 $P_2$
取 $P_3$ 中任意一点 $\mathbf{p_3} = (x, y, x, -y)$，其中 $x^2+y^2 = 1/2$。
取 $P_2$ 中任意一点 $\mathbf{p_2} = (a, b, 0, 0)$，其中 $a^2+b^2 = 1$。
点积为 $\mathbf{p_3} \cdot \mathbf{p_2}=ax + by$ 与第一部分完全相同，通过完全相同的计算，得出 $P_3$ 和 $P_2$ 平行。

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反例二：$S^2$ 上的圆弧
$P_2$：北极点
现在，我们画一条纬线，比如北纬45度。这条纬线上的每一个点，到北极点的最短球面距离（测地距离）都是一个固定值 $d$（在这里 $d = \pi/4$）。
$P_1$：取这条北纬45度线上的一小段圆弧。
$P_3$：在同一条北纬45度线上，取与 $P_1$ 相对的另一侧的、不相交的一小段圆弧。
验证平行关系：
$P_1$ 平行于 $P_2$：$P_1$（圆弧）上的每个点到 $P_2$（北极点）的距离都是 $d$。反之，$P_2$ 到 $P_1$ 上每个点的距离也都是 $d$，所以最短距离也是 $d$。它们是平行的。
同理，$P_3$ 也与 $P_2$ 平行，距离也是 $d$。

$P_1$ 和 $P_3$ 虽然都与 $P_2$ 平行，但它们彼此之间并不平行。因为从 $P_1$ 上的不同点出发，到 $P_3$ 的最短距离是不相等的。位于 $P_1$ 圆弧中心的点，它到 $P_3$ 的最短路径跨越北极点，距离最远。而位于 $P_1$ 圆弧两端的点，它到 $P_3$ 的最短距离则更短一些。因为不存在一个统一的距离 $d$，所以 $P_1$ 和 $P_3$ 不满足平行的定义。

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反例三：$\mathbb{R}^2$ 上的圆弧
$Q$: 点。
$P$: 以 $Q$ 为圆心的圆上的一小段圆弧。
$R$: 同一个圆上，与 $P$ 相对的另一侧的一小段圆弧。

$P$（圆弧）上的每个点到 $Q$（点）的距离都为半径。
尽管 $P$ 和 $R$ 都与原点“平行”，但它们彼此之间并不平行：从 $P$ 上的不同点到 $R$ 的最短距离是不相等的。$P$ 圆弧的端点到 $R$ 的距离，会比 $P$ 圆弧的中心点到 $R$ 的距离要小。math.stackexchange.com/q/5085842