所有二元多项式 mod $x^2, y^3$ 最高幂零指数

hbghlyj

在 $R = \mathbb{Z}[x, y] / (x^2, y^3)$ 中，幂零元素由所有不含常数项的元素组成 $m=(x, y)$，一个元素 $a \in (x, y)$ 的幂零指数是满足 $a^k = 0$ 的最小正整数 $k$。
$m = (x, y)$ 的基为 $\{x, y, y^2, xy, xy^2\}$，将它们两两相乘：
$m^2$ 由 $\{xy, y^2, xy^2\}$ 生成，将它们两两相乘：
$m^3$ 由 $\{xy^2\}$ 生成。
$m^4 = 0$。

由于 $m^3 \neq 0$ 且 $m^4 = 0$，每个 $a \in m$ 满足 $a^4 = 0$。为证明最高指数为 4，考虑 $a = x + y$：
$a^2 = y^2 + 2xy \neq 0$，
$a^3 = 3xy^2 \neq 0$，
$a^4 = 0$。

因此，$a$ 的幂零指数为 4，这也是最大值。

hbghlyj

我们可以更简洁地看出在环 $R = \mathbb{Z}[x, y] / (x^2, y^3)$ 中 $(x + y)^4 = 0$。通过二项式展开 $(x + y)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^k y^{4-k}$，每个项 $x^k y^{4-k}$ 中，要么 $k \geq 2$（从而含 $x^2$ 的因子，为零），要么 $k \leq 1$（从而 $4-k \geq 3$，含 $y^3$ 的因子，为零）。因此，所有项均为零。