两个域的张量积为何不是域？

hbghlyj

两个域 $K,L$ 的张量积不一定是域。尽管纯张量如$x \otimes y$是可逆的，但一般元素是它们的有限和，这会导致零因子，从而破坏域的性质。

因为 $K,L$ 是环，张量积$K \otimes_F L$是一个$F$-代数，元素是有限和：$\sum_i k_i \otimes \ell_i$。
乘法是双线性的：$(k_1 \otimes \ell_1)(k_2 \otimes \ell_2) = (k_1 k_2) \otimes (\ell_1 \ell_2)$。
非零纯张量$k \otimes \ell$有逆元$k^{-1} \otimes \ell^{-1}$，但和不是总这样。

问题在于$K \otimes_F L$可能有零因子（非零$a, b$使得$a b = 0$），这阻止它成为整环，更不用说域了。
当$K$和$L$在$F$上有代数关系时（如一个域中元素的极小多项式在另一个中分裂），张量积可能分解为环的直积，从而引入零因子。

hbghlyj

取$F = \mathbb{Q}$，$K = L = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$。

基为$\{1 \otimes 1, 1 \otimes \sqrt{2}, \sqrt{2} \otimes 1, \sqrt{2} \otimes \sqrt{2}\}$。
同构于$\mathbb{Q}(\sqrt{2})[x] / (x^2 - 2) \cong \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \times \mathbb{Q}(\sqrt{2})$，有零因子。具体来说：
$a = 1 \otimes \sqrt{2} - \sqrt{2} \otimes 1$（非零）。
$b = 1 \otimes \sqrt{2} + \sqrt{2} \otimes 1$（非零）。
计算$a b = 0$：$(1 \otimes \sqrt{2} - \sqrt{2} \otimes 1)(1 \otimes \sqrt{2} + \sqrt{2} \otimes 1) = 1 \otimes 2 + \sqrt{2} \otimes \sqrt{2} - \sqrt{2} \otimes \sqrt{2} - 2 \otimes 1 = 0$。
由于零因子，$a$和$b$不可逆。

纯张量可逆，但和可能引入零因子，尤其当域非线性不相交时。另一个例子：$\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$。

总之，张量积因一般元素的相互作用产生零因子而非域，仅当域线性不相交时才可能是域。