求两个线段的最大值

走走看看

这个抖音作者，给出题目，却不给出答案。

有个网友给出答案$4\sqrt{65}$，但他说这题没有专用工具做不出来，不愿意上传解答。

请大师们看看。

走走看看

这是一道初中生的题目。我想了下，觉得很把BD、CD分别放进两个相似三角形中。

kuing

这不会是初中题，只有三种可能：1、抄错题，2、乱改的题，3、故意坑人的。

我建系开挂爆算，正确答案并不是 `4\sqrt{65}`，而是 `5\sqrt{\frac1{102} \bigl(2651+137\sqrt{137}\bigr)}`（约为 32.2921），这题可以扔掉了，别说初中生，不够强的高中生都未必算得来。

设 `A(0,3)`, `B(-4,0)`, `C(4,0)`，圆的方程为 `(x-2)^2+(y-3/2)^2=(5/2)^2`，于是可设
\[D\left(2+\frac52\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac32+\frac52\cdot\frac{2t}{1+t^2}\right),\]
（就是三角+万能公式）（注：此设法有一个点 `(-0.5,1.5)` 表示不了，但该点显然不是最值点，所以不用管）则
\begin{align*}
BD^2&=\left(6+\frac52\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2+\left(\frac32+\frac52\cdot\frac{2t}{1+t^2}\right)^2=\frac{149+30t+29t^2}{2(1+t^2)},\\
CD^2&=\left(-2+\frac52\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2+\left(\frac32+\frac52\cdot\frac{2t}{1+t^2}\right)^2=\frac{5(1+3t)^2}{2(1+t^2)},
\end{align*}
所以
\[BD^2\cdot CD^2=\frac{5(1+3t)^2(149+30t+29t^2)}{4(1+t^2)^2}=f(t),\]
求导得
\[f'(t)=-\frac{5(3+t)(1+3t)(-77+48t+37t^2)}{(1+t^2)^3},\]
由此可以算出当 `t=\frac{-24+5\sqrt{137}}{37}` 时最大，有
\[f(t)_{\max}=\frac{25}{102}\bigl(2651+137\sqrt{137}\bigr),\]
所以 `BD\cdot CD` 的最大值为 `5\sqrt{\frac1{102}\bigl(2651+137\sqrt{137}\bigr)}`。

走走看看

kuing 发表于 2025-7-31 14:13
这不会是初中题，只有三种可能：1、抄错题，2、乱改的题，3、故意坑人的。

我建系开挂爆算，正确答案并不 ...

谢谢Kuing！

不愧是顶流专家。
我刚才量了下，确实乘积是32.29，而不是$4\sqrt{65}$对应的32.25。

Aluminiumor

这不巧了，今天整理图片，刚好翻到：
当然转化问题后依然很难算，除非数据凑得好。

走走看看

Aluminiumor 发表于 2025-7-31 17:15
这不巧了，今天整理图片，刚好翻到：
当然转化问题后依然很难算，除非数据凑得好。
...

您好！请教一个问题：

D，X在两个圆上，并且有约束关系，如何求出这两点间的最大距离呢？

Aluminiumor

走走看看 发表于 2025-7-31 18:17
您好！请教两个问题：

1、△DOB∽△DCX后得出

1. 不需要推断 $\triangle DBX$ 等腰，$\triangle DBX\sim\triangle DOC$ 可由对应三边成比例来证明。
2. 可考虑设 $\angle OCD=\angle KCX=\theta$，在 $\triangle DCX$ 内运用余弦定理即可。

kuing

1+1=？ 点评
这题我4月份在魔术的几何行星群里看见，当时做了一下发现是四次方程条件下求最值，就没做了

定圆上动点到两定点距离之积的最大值——一般要解四次方程。

如果有其中一个定点在定圆上，则应该会有一个因式分解出来，那一般应该要解三次方程。

而楼主的题最终却只需解二次方程，那数据应该是设计过的，否则应该是三次，比如我 B 左移一点，改为：B(-5,0)，其余不变，然后用 mma 算了下，果然要解三次方程。