2025年“剑邑杯”中国东南地区数学夏令营

lemondian

2025 年东南地区数学奥林匹克

高一组第二天
1．设 $f(x)=x^3+a x^2+b x+a+2$ 的三个根 $\alpha, \beta, \gamma \neq 1$，且 $2 a+b \geq 24$．求证：
$$
\frac{1}{\sqrt[3]{\alpha-1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{\beta-1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{\gamma-1}} \leq 0
$$

1+1=？

搬运，星神的操作

根据 $a+2=a+2$，我们有 $\alpha+\beta+\gamma=\alpha \beta \gamma+2$，即
\[
\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma}=1
\]
另一方面，把 $2 a+b$ 看作 $a+a+b$，两个 $a$ 分别用 $-(\alpha+\beta+\gamma)$ 和 $-(\alpha \beta \gamma+2)$ 取代，条件即
\[
(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma) \geq 27
\]
现在我们要证明的是
\[
\frac{1}{\sqrt[3]{1-\alpha}}+\frac{1}{\sqrt[3]{1-\beta}}+\frac{1}{\sqrt[3]{1-\gamma}} \geq 0
\]
根据 $a^3+b^3+c^3-3 a b c=(a^2+b^2+c^2-a b-a c-b c)(a+b+c)$，只需证
\[
\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma}-\frac{3}{\sqrt[3]{(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)}} \geq 0
\]
证毕

据说题目不严谨无法保证所有根都是实根