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命题
对于任意一组不同的整数 $k_1, k_2, \ldots, k_m$，函数集合 $\{e^{ik_1 x}, e^{ik_2 x}, \ldots, e^{ik_m x}\}$ 线性无关。
通常方法是积分和正交性的分析。也可以用一个巧妙的代数论证
证明
我们对 $m$ 进行数学归纳。情形 m=1：方程 $a_1 e^{ik_1 x} = 0$ 因为 $e^{ik_1 x}\ne0$，所以系数 $a_1=0$.
假设对 $m-1$ 成立。
归纳步：设 $m$ 个不同的整数 $k_1, k_2, \ldots, k_m$
$$a_1 e^{ik_1 x} + \dots + a_{m-1} e^{ik_{m-1} x} + a_m e^{ik_m x} = 0 \quad \forall x \inR$$
- 如果任何一个系数为零，就会得到一个 $m-1$ 个函数的线性关系，根据归纳假设，所有系数为零。
- 如果所有系数 $a_1, \ldots, a_m$ 都不为零，我们可以用 $a_m$ 来除整个方程，并重新标记$a_i$
$$a_1 e^{ik_1 x} + \dots + a_{m-1} e^{ik_{m-1} x} + e^{ik_m x} = 0\quad\forall x\inR \tag1$$
因为整数 $k_j$ 是不同的，$k_1 \neq k_m$，因此存在 $y\inR$ 使得 $e^{ik_1 y} \neq e^{ik_m y}$.
方程 (1) 对所有 $x$ 都成立，因此它对 $x+y$ 也成立：
$$a_1 e^{ik_1 (x+y)} + \dots + a_{m-1} e^{ik_{m-1} (x+y)} + e^{ik_m (x+y)} = 0$$
利用指数性质 $e^{a+b} = e^a e^b$ 得：
$$a_1 e^{ik_1 y} e^{ik_1 x} + \dots + a_{m-1} e^{ik_{m-1} y} e^{ik_{m-1} x} + e^{ik_m y} e^{ik_m x} = 0$$
同除以 $e^{ik_m y}$:
$$a_1 \frac{e^{ik_1 y}}{e^{ik_m y}} e^{ik_1 x} + \dots + a_{m-1} \frac{e^{ik_{m-1} y}}{e^{ik_m y}} e^{ik_{m-1} x} + e^{ik_m x} = 0 \tag2$$
用方程 (2) 减去方程 (1)，最后一项被消去：
$$a_1 \left(\frac{e^{ik_1 y}}{e^{ik_m y}} - 1\right) e^{ik_1 x} + \dots + a_{m-1} \left(\frac{e^{ik_{m-1} y}}{e^{ik_m y}} - 1\right) e^{ik_{m-1} x} = 0$$
这是一个关于 $m-1$ 个函数的线性关系。根据归纳假设，所有系数都为零，第一项：
$$a_1 \left(\frac{e^{ik_1 y}}{e^{ik_m y}} - 1\right) = 0$$
我们已经论证过 $a_1 \neq 0$，因此：
$$\frac{e^{ik_1 y}}{e^{ik_m y}} - 1 = 0 \implies e^{ik_1 y} = e^{ik_m y}$$
但这与 $y$ 的定义相矛盾。
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