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源自知乎提问
题：求 $f(x)=5\cos x-\cos5x,\,x\in \mathbb R$ 的最大值
Solution 1
首先可知 $f(x+2\pi)=f(x)$ ，即 $f(x)$ 的周期为 $T=2\pi$ .
其次又知 $f(2\pi-x)=f(x)$ ，即直线 $x=\pi$ 是 $f(x)$ 的对称轴.
再次又有 $f(\pi-x)+f(x)=0$ ，即 $\left(\frac\pi2,0\right)$ 是 $f(x)$ 的对称中心.
综合以上信息，只需要求 $f(x)=5\cos x-\cos 5x$ 在 ${\color{red}{x\in\left[0,\frac\pi2\right]}}$ 的最值即可.
求导令 $f'(x)=-5\sin x+5\sin 5x=0$ ， $\sin5x=\sin x>0$ ，所以 $5x\in\left(0,\pi\right)\cup\left(2\pi,\frac{5\pi}2\right)$ ， $x\in\left(0,\frac\pi2\right)$ 结合 $y=\sin x$ 的图象，得到 $f'(x)=0$ 的解仅三种情形
$1)\ 5x+x=\pi$ ，或 $2)\ 5x=x$ ，或 $3)\ 5x-x=2\pi$ .
解得 $x=0,\frac\pi6,\frac\pi2$ ，从而 $f(x)$ 在闭区间 ${\color{red}{x\in\left[0,\frac\pi2\right]}}$ 上最大值为 \[f(x)_{\max}=\max\left\{f(0),f(\pi/6),f(\pi/2)\right\}=f(\pi/6)=3\sqrt3,\] 再由 $f(x)$ 的周期性与对称性知 $3\sqrt 3$ 也是 $x\in\mathbb R$ 时函数 $f(x)$ 的最大值.
Solution 2
先将 $\cos 5x$ 逐步展开成单角 \begin{align*}
\cos5x&=\cos x\cos4x-\sin x\sin 4x\\
&=\cos x\left(2\cos^2 2x-1\right)-2\sin x\sin 2x\cos 2x\\
&=\cos x\left(2\cos^2 2x-1\right)-4\sin^2 x\cos x\cos 2x\\
&=\cos x\left(\Big(2\cos^2 2x-1\Big)-4\sin^2 x\cos 2x\right)\\
&=\cos x\left(\Big(2(2\cos^2x -1)^2-1\Big)-4\sin^2 x(2\cos^2 x-1)\right)\\
&=\cos x\left(\Big(8\cos^4 x-8\cos^2 x+1 \Big)-(4-4\cos^2 x)(2\cos^2 x-1)\right)\\
&=\cos x\left(8\cos^4 x-8\cos^2 x+1-\big(-8\cos^4 x+12\cos^2 x-4\big)\right)\\
&=\cos x\left(16\cos^4 x-20\cos^2 x+5\right)
\end{align*} 这其实就是 cos 的 5 倍角公式. \begin{align*}
y=f(x)&=5\cos x-\cos x\left(16\cos^4 x-20\cos^2 x+5\right)\\
&=\cos x\left(-16\cos^4 x+20\cos^2 x\right)\\
&=4\cos^3 x\left(5-4\cos^2 x\right)
\end{align*} 观察括号内为 2 次，故而平方后利用均值不等式（AM-GM） \begin{align*}
y^2&=16\cos^2 x\cdot \cos^2 x\cdot \cos^2 x\left(5-4\cos^2 x\right)\left(5-4\cos^2 x\right)\\
&=\frac{27}{32}\cdot \frac83\cos^2 x\cdot \frac83\cos^2 x\cdot \frac83\cos^2 x\left(5-4\cos^2 x\right)\left(5-4\cos^2 x\right)\\
&\leqslant\frac{27}{32}\left(\frac{\frac83\cos^2 x\cdot 3+(5-4\cos^2 x)\cdot 2}5\right)^5\\
&=27,\\[1em]
\therefore \ y&\leqslant 3\sqrt3,
\end{align*} 当 $\frac83\cos^2 x=5-4\cos^2 x\ \land \ \cos x>0$ 即 $\cos x=\frac{\sqrt 3}2$ 亦即 $x=\pi/6$ 时等号成立，所以 $3\sqrt 3$ 是 $f(x)$ 的最大值. |
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