物理

ABCD001

假设某宇宙深处有某颗行星的质量是太阳的一百万分之一，半径是日地距离(本题是把地球绕日轨道近似当成正圆)的一万分之一，且整个行星可以看成均匀球体。
在该行星上诞生了两个文明：分别是在南极的冻成狗文明和在赤道的热成狗文明。两个文明之间为了友好往来，决定在它们的首都(分别在南极和赤道上)之间挖一条地下光滑隧道：摩擦力可以忽略的球形地铁可以纯粹在行星的引力的作用下从隧道一端滑行至另一端。
两个文明的工程师们进行了详细的计算和规划，使得地铁往返于两个首都之间的时间达到最短。
问：地铁每次单程运行时间是几个小时？(结果保留5位有效数字)
提示：欧拉-拉格朗日方程；忽略行星自转；地球公转周期取365天

战巡

这个也没必要上变分了，直接用当年约翰·伯努利的办法就好——费马光行最速原理

令行星球心为$O$，如果$P$为线路上一点，$\alpha$为过$P$的切线与$OP$的夹角，那么按照费马原理，会有
\[\frac{v}{r\sin(\alpha)}=C_1\]
其中$v$为过$P$点时速度，$r=OP$，$C_1$为常数。

另一方面，由能量守恒，会有
\[\frac{1}{2}v^2-\int_r^Rg(r)dr=C_2\]
其中$g(r)$为重力加速度随$r$变化的函数，此处有
\[g(r)=\frac{gr}{R}\]
其中$g$为该行星地表重力加速度，$R$为行星半径，此结论广为人知，此处不做解释

于是
\[\frac{1}{2}v^2-\frac{g}{2R}(R^2-r^2)=C_2\]
如果起始时速度为$0$，则有$v=0,r=R$时上式成立，于是
\[C_2=0\]
\[\frac{1}{2}v^2=\frac{g}{2R}(R^2-r^2)\]
\[v=\sqrt{\frac{g}{R}}\sqrt{R^2-r^2}\]
然后
\[\sqrt{\frac{g}{R}}\frac{\sqrt{R^2-r^2}}{r\sin(\alpha)}=C_1\]
由于$g,R$也是常数，不妨令$C=\sqrt{\frac{R}{g}}C_1$，即
\[\frac{\sqrt{R^2-r^2}}{r\sin(\alpha)}=C\]
注意
\[\sin(\alpha)=\frac{rd\theta}{\sqrt{(dr)^2+r^2(d\theta)^2}}=\frac{r}{\sqrt{(\frac{dr}{d\theta})^2+r^2}}\]
其中$\theta$为球心角
这个丢进上面化简会有
\[\frac{\sqrt{R^2-r^2}}{r^2}\sqrt{(\frac{dr}{d\theta})^2+r^2}=C\]

如果我们令曲线的最低点距离球心$R'$，按照对称性，此时$\frac{dr}{d\theta}=0$，于是
\[C^2=(\frac{R}{R'})^2-1\]
然后
\[\frac{dr}{d\theta}=r\sqrt{\frac{(C^2+1)r^2-R^2}{R^2-r^2}}\]
这个结果姑且放在这

注意
\[\omega=\frac{d\theta}{dt}\]
为角速度，同时有$\omega=\frac{v\sin(\alpha)}{r}$
那么有
\[t=\int\frac{d\theta}{\omega}=\int\frac{rd\theta}{v\sin(\alpha)}\]
\[=\sqrt{\frac{R}{g}}\int\frac{rd\theta}{\sqrt{R^2-r^2}}\cdot\frac{\sqrt{(\frac{dr}{d\theta})^2+r^2}}{r}\]
\[=\sqrt{\frac{R}{g}}\int\frac{r}{\sqrt{R^2-r^2}}\frac{\sqrt{(\frac{dr}{d\theta})^2+r^2}}{r}\frac{d\theta}{dr}dr\]
\[=\sqrt{\frac{R}{g}}\int\frac{r\sqrt{R^2-R'^2}}{R\sqrt{(R^2-r^2)(r^2-R'^2)}}dr\]
\[=\frac{\sqrt{R^2-R'^2}}{\sqrt{gR}}\int\frac{r}{\sqrt{(R^2-r^2)(r^2-R'^2)}}dr\]
然后，其半个行程，会从$R$走到$R'$，时间为
\[\frac{T}{2}=\frac{\sqrt{R^2-R'^2}}{\sqrt{gR}}\int_{R'}^R\frac{r}{\sqrt{(R^2-r^2)(r^2-R'^2)}}dr\]
\[=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sqrt{R^2-R'^2}}{\sqrt{gR}}\]
\[T=\frac{\sqrt{R^2-R'^2}}{\sqrt{gR}}\cdot\pi\]

到这里就不得不把$R'$求出来了，按照前面我们有
\[\frac{d\theta}{dr}=\frac{\sqrt{\frac{R^2-r^2}{(C^2+1)r^2-R^2}}}{r}\]
\[\theta(r)=\int\frac{d\theta}{dr}dr=\int\frac{\sqrt{\frac{R^2-r^2}{(C^2+1)r^2-R^2}}}{r}dr\]
\[=\frac{R'}{R}\int\frac{1}{r}\sqrt{\frac{R^2-r^2}{r^2-R'^2}}dr\]
\[\theta(r)=\frac{1}{R}\left[R'\arctan\left(\sqrt{\frac{R^2-r}{r^2-R'^2}}\right)-R\arctan\left(\frac{R'}{R}\sqrt{\frac{R^2-r^2}{r^2-R'^2}}\right)\right]+c\]
注意两个端点差了$90\du$，到中间最低点就是$45\du$，因此$\theta(R)=\frac{\pi}{2},\theta(R')=\frac{\pi}{4}$
这就有
\[\theta(R)=c=\frac{\pi}{2}\]
\[\theta(R')=\frac{R'-R}{R}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}\]
即
\[R'=\frac{R}{2}\]
于是
\[T=\frac{\sqrt{3}\pi}{2}\cdot\sqrt{\frac{R}{g}}\]

至于$R$，$g$具体是多少，你自己算吧，我看着这个极其智障的数据就不想动了

质量为太阳的百万分之一，半径为地日距离万分之一，想想就觉得脑残，你这玩意密度$142.609 kg/m^3$，还不到土星（太阳系行星中密度最小）的四分之一，跟个棉花糖一样松软，这只能是气态巨星，能出文明才奇葩