一道题的漏解问题？

nttz

条件是$x^5=-1$,求解 $x+\frac{1}{x} =?$

kuing

\begin{align*}
x^5&=-1=\cos\pi+i\sin\pi,\\
x&=\cos\frac{(2k+1)\pi}5+i\sin\frac{(2k+1)\pi}5,\quad k=0,1,2,3,4,\\
x+\frac1x&=2\cos\frac{(2k+1)\pi}5,
\end{align*}
可知所求的可能值有三个：
\[\left\{\frac{1+\sqrt5}2,\frac{1-\sqrt5}2,-2\right\}.\]