x，y＞0，x+y=2，求$(\frac{x³}{y}+\frac{y³}{x})$的最小值。

走走看看

如果不用导数，用基本不等式可以求吗？

isee

依三元均值不等式
\[\frac{x^3}y+\frac{y^3}x=\left(\frac{x^3}y+y+1\right)+\left(\frac{y^3}x+x+1\right)-4\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{x^3}y\cdot y\cdot 1}+3y-4=2.\]

走走看看

$(\frac{x³}{y}+\frac{y³}{x})(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})≥(x+y)²=4$

行吗? (柯西不等式）

isee

isee 发表于 2025-8-12 23:22
依三元均值不等式
\[\frac{x^3}y+\frac{y^3}x=\left(\frac{x^3}y+y+1\right)+\left(\frac{y^3}x+x+1\right) ...

呃，添加一法吧.

设 $xy=u\leqslant \left(\frac{x+y}2\right)^2=1$，则将求式通分
\begin{align*}
\frac{y^3}x+\frac{x^3}y&=\frac{(x^2+y^2)^2-2u^2}{u}\\[1ex]
&=\frac{\big((x+y)^2-2u\big)^2}{u}-2u\\[1ex]
&=\frac{16-16u+4u^2}{u}-2u\\[1ex]
&=2u+\frac{16}u-16\\[1ex]
&\geqslant 2\times 1+\frac{16}1-16\\[1ex]
&=2.
\end{align*}
注：最后的不等式，由单调性而来：对勾函数 $y=2u+\frac{16}u$ 在 $u\in(0,1]$ 上单调递减.

isee

走走看看 发表于 2025-8-12 22:51
如果不用导数，用基本不等式可以求吗？

再回到均值不等式，又一法，由于
\[\left\{\begin{aligned}
x^4+x^4+x^4+y^4&\geqslant 4x^3y\\
x^4+y^4+y^4+y^4&\geqslant 4xy^3
\end{aligned}\right.\]
两式相加，整理即得
\begin{gather}\frac{x^3}y+\frac{y^3}x\geqslant x^2+y^2,\label{eq01}\end{gather}
而 $2(x^2+y^2)\geqslant (x+y)^2$ ，即 $x^2+y^2\geqslant \frac{(x+y)^2}2=2$，如此一来 $\left(\frac{x^3}y+\frac{y^3}x\right)_{\min}=2$ .

走走看看

isee 发表于 2025-8-13 08:42
呃，添加一法吧.

设 $xy=u\leqslant \left(\frac{x+y}2\right)^2=1$，则将求式通分

Isee很棒，谢谢您！

isee

2# 法 1 均值不等式，4# 法 2 用和与积及对勾函数单调性，下面来个 法 3 柯西不等式.
\begin{gather*}
\left(y+1+x+1\right)\left(\frac{y^3}{x}+x+\frac{x^3}{y}+y\right)\geqslant\left({\color{blue}{\frac{y^2}{\sqrt x}+\sqrt x}}+\frac{x^2}{\sqrt y}+\sqrt y\right)^2\\[1ex]
4\left(\frac{y^3}{x}+\frac{x^3}{y}+2\right)\geqslant\left({\color{blue}{\frac{y^2}{\sqrt x}+\sqrt x}}+\Big(\frac{x^2}{\sqrt y}+\sqrt y\Big)\right)^2\geqslant \left(2\sqrt{\frac{y^2}{\sqrt x}\cdot \sqrt x}+2x\right)^2\\[1ex]
4\left(\frac{y^3}{x}+\frac{x^3}{y}+2\right)\geqslant 16\\[1ex]
\frac{y^3}{x}+\frac{x^3}{y}\geqslant 2.
\end{gather*}

走走看看

isee 发表于 2025-8-13 19:04
2# 法 1 均值不等式，4# 法 2 用和与积及对勾函数单调性，下面来个 法 3 柯西不等式.
\begin{gather*}
\lef ...

很好！
这个柯西不等式没有毛病。

isee

为权方和不等式 $\frac{c^3}{a^2}+\frac{d^3}{b^2}\geqslant \frac{(c+d)^3}{(a+b)^2}$ 创造条件，法 4 三角代换
设 $x=2\cos^2 u$ ，$y=2\sin^2 u$ ，其中 $u$ 为锐角，于是
\[4\left(\frac{\big(\cos^2u)^3}{\big(\sin u\big)^2}+\frac{\big(\sin^2u)^3}{\big(\cos u\big)^2}\right)\geqslant 4\left(\frac{1^3}{\big(\cos u+\sin u\big)^2}\right)\geqslant 4\left(\frac1{\big(\sqrt2\big)^2}\right)=2.\]

---

事实上，若真的上权方和不等式，实际不用换元的，首先，易知 $\sqrt x+\sqrt y\leqslant 2$ ，于是
\[\frac{y^3}{\big(\sqrt x\big)^2}+\frac{x^3}{\big(\sqrt y\big)^2}\geqslant \frac{(x+y)^2}{\big(\sqrt x+\sqrt y\big)^2}\geqslant \frac{3^2}{2^2}=2.\]

isee

回到 5#   \eqref{eq01} 式，也可以直接，法 5 柯西不等式分式形式
\[\frac{\big(x^2\big)^2}{yx}+\frac{\big(y^2\big)^2}{xy}\geqslant \frac{(x^2+y^2)^2}{2xy}\geqslant \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2}=x^2+y^2,\]
下同.