求双参数恒成立问题的最小值问题

lemondian

这个题如何解决？

若$a,b\inR$，对任意的$x\in[-2,2]$均有$(2a+b)x^2+bx+a+1\geqslant 0$恒成立，求$2a+b$的最小值。

kuing

\begin{align*}
f(x)&=(2a+b)x^2+bx+a+1\\
2a+b&=\frac{5f(2)+3f(-2)-8}{36}\geqslant\frac{-8}{36}=-\frac29
\end{align*}

lemondian

这个解法错在哪里呢？
解答：$(2 a+b) x^2+b x+a+1=(2 x^2+1) a+(x^2+x) b+1 \geq 0$，令 $\frac{2 x^2+1}{x^2+x}=2$，解得 $x=\frac{1}{2}$，将 $x=\frac{1}{2}$ 代入原式得 $2 a+b \ge-\frac{4}{3}$

isee

求 $2a+b$ 的最小值，所以只需要考虑 $2a+b<0$ 即抛物线 $f(x)$ 为开口向下的的情形，依题设，只需要 $f(-2),f(2)\geqslant 0$ ，由这两式就可以得到 2# 第二行.

且此时 $f(x)=-\frac19x^2+\frac89$ 符合题意.