带有几何背景的最小值

reny

已知正实数$a,b,c$满足$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=1,$ 求\[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\]的最小值.
背景：已知过点$P(1,2,3)$的平面分别交$x,y,z$轴的正半轴于$A,B,C$三点，求$S_{\triangle{ABC}}$的最小值.

kuing

高次方程

reny

回复 2# kuing
此题看起简单，计算还复杂，要不怎么调整一下系数，便于好求？不过觉得（1,2,3）已是比较简单的啦

kuing

1,2,1 都是三次方程，我看就算了吧……

reny

回复 4# kuing
kk，这是别人问我的一个题，简单说下思路吧

kuing

回复 5# reny

我就说 1,2,1 的情形，等价于正数 $a+2b+c=1$ 求 $(a^2+b^2+c^2)/(a^2b^2c^2)$ 的最小值，那么
\[\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2b^2c^2}=\frac{a^2+c^2+\left( \frac{1-a-c}2 \right)^2}{a^2c^2\left( \frac{1-a-c}2 \right)^2}\geqslant \frac{\frac{p^2}2+\left( \frac{1-p}2 \right)^2}{\left( \frac{p^2}4 \right)^2\left( \frac{1-p}2 \right)^2}=\frac{16(3p^2-2p+1)}{p^4(1-p)^2},\]
这里 $p=a+c\in(0,1)$，求导发现当取最小值的 $p$ 是个三次方程的根。

这个特殊情况都三次了，一般情形次数肯定更高，so……

kuing

不过，通过楼上这个方法可以构造出最后能分解因式的三次方程，从而获得能解的数据，比如 $(1,\sqrt2/3,1)$，希望没计算错。
一般情形真没那精力去构造了……

三尺水

肯定要满足一种几何条件，待我想想。