柯西很诱人，可惜，想不出

realnumber

reny

柯西之后不就是取等条件吗？

realnumber

回复 2# reny


    但得出个恒成立，不在取等条件也没矛盾啊~~，

kuing

换个方向吧
\begin{align*}
25&=3\sqrt{41-40\cos\alpha}+4\sqrt{34-30\sin\alpha} \\
&=\sqrt{(15\sin\alpha)^2+(15\cos\alpha-12)^2} +\sqrt{(20\cos\alpha)^2+(12-20\sin\alpha)^2} \\
&\geqslant\sqrt{(15\sin\alpha+20\cos\alpha)^2+(15\cos\alpha-20\sin\alpha)^2} \\
&=\sqrt{15^2+20^2} \\
&=25,
\end{align*}
故只能取等号，而等号成立当且仅当
\[\frac{15\sin\alpha}{20\cos\alpha}=\frac{15\cos\alpha-12}{12-20\sin\alpha},\]
化简为
\[3\sin\alpha+4\cos\alpha=5,\]
故 $\sin\alpha=3/5$。

心语