称为 “支撑线” 函数的 单调性 问题

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P是什么?

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原来是这样画，比我前面画椭圆要好，初中生也能懂。

其妙

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P是什么?
爪机专用 发表于 2013-12-24 11:53

在办公室电脑草稿本公式显示太慢！只有回家重写一遍。基本的证明单调性方法。
设$g(x)=f(x+\frac 12)=\sqrt {x^2+x+\frac 54}+\sqrt {x^2-x+\frac 54}$，且$x_1>x_2\geqslant0$，则
\begin{align*}
g(x_1)-g(x_2)&=\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}-\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}+\sqrt {x_1^2-x_1+\frac 54}-\sqrt {x_2^2-x_2+\frac 54}\\
{\kern 1pt} {\kern 1pt} \\
&=\dfrac {x_1^2+x_1-x_2^2-x_2}{\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}}+\dfrac {x_1^2-x_1-x_2^2+x_2}{\sqrt {x_1^2-x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2-x_2+\frac 54}}\\
{\kern 1pt} {\kern 1pt} \\
&=\dfrac {(x_1-x_2)(x_1+x_2+1)}{\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}}+\dfrac {(x_1-x_2)(x_1+x_2-1)}{\sqrt {x_1^2-x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2-x_2+\frac 54}}\\
&=(x_1-x_2)\left(\dfrac {x_1+x_2+1}{\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}}+\dfrac {x_1+x_2-1}{\sqrt {x_1^2-x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2-x_2+\frac 54}}\right) \\
&>(x_1-x_2)\left(\dfrac {x_1+x_2+1}{\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}}+\dfrac {x_1+x_2-1}{\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}}\right)\\
&=(x_1-x_2)\left(\dfrac {2(x_1+x_2)}{\sqrt {x_1^2+x_1+\frac 54}+\sqrt {x_2^2+x_2+\frac 54}}\right)\\
&>0\end{align*}
故当$x_1>x_2\geqslant0$时，$g(x_1)>g(x_2)$，下略。

爪机专用

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分子要是负的还是大于么?

其妙

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这倒是个问题，只能说$x_1,x_2\in[\dfrac12,+\infty)$可以这样证明，看看$x_1,x_2\notin[\dfrac12,+\infty)$能否改进，

爪机专用

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都大于等于二分之一的话也不用放缩，全都是正的了。就是分子负的时候才难判断。

其妙

求导的话就很好证明了，求导得到的式子，就是上面分解因式后的式子中，令$x_1=x_2=x$，就是求导的式子，用分析法（与裂项）很容易证明当$x_1+x_2<1$，即$2x<1$时的导数成立。