函数图象均在椭圆上，判断奇偶性等

转化与化归

怎么最简洁的写一下这个小题的过程

hongxian

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感觉是D

地狱的死灵

由椭圆的对称性，
对任意定义域内的$x$，
都有$f(x)=f(-x)$或$f(x)=-f(-x)$，
假设存在$x_0$使得$f(x_0)=f(-x_0)=y_0≠0$，
则不存在$x$使得$f(x)=-y_0$，
这与值域为$(-1,1)$矛盾。
因此对任意$x$都有$f(x)+f(-x)=0$，
即$f(x)$为奇函数。

hongxian

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高！

转化与化归

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好！

行尸

好题目，哪里的啊？

其妙

由图像，显然可得关于原点对称，于是为奇函数。
非要逼着写过程，那么写一下：
先说一下写法的思想（为什么要那样写）：
设椭圆分成四部分：左上、左下、右上、右下
根据函数的定义，左上、左下不能同时选，右上、右下也不能同时选。
根据定义域，必须左上、左下必须选一个，右上、右下也必须选一个
但不能全选上或全选下，因为根据函数值域，必须上、下要选一个
于是只能选左上和右下，或者左下和右上，显然关于原点对称，于是为奇函数。
以上是最简单的想法，函数还是有一个间断点x=0的，
万一函数间断点不止一个呢？
想法也和上面一样，在间断点附近图像分成四部分：左上、左下、右上、右下，……，和上面同样的道理，以下略。
下面给出写法：（王大娘的裹脚又臭又长 ，其实就是一句话：显然可得）
设点$P(x_0,y_0)$是$f(x)$图像上任意点，即$y_0=f(x_0)$.
不妨设$0<x_0\leqslant2$，则当$0\leqslant y_0<1$时，（此时点$P(x_0,y_0)$在椭圆右上部分）
点$Q(-x_0,m)$是$f(x)$图像上（左上或左下）的对应于$P(x_0,y_0)$的一点，若$Q(-x_0,m)$在椭圆左上部分（此时$m=y_0$)，
则$f(x)$值域将没有$y=-y_0$这个值（因为此时根据函数定义，不允许函数$f(x)$图像上有点$Q'(-x_0,-m)$），
于是$Q(-x_0,m)$在椭圆左下部分，即$-1<m<0$，由椭圆图像的对称性，必定$f(-x_0)=m=-y_0=-f(x_0)$，
即$f(-x_0)=-f(x_0)$
当$-1<y_0\leqslant0$时，（此时点$P(x_0,y_0)$在椭圆右下部分），道理也是一样，也有$f(-x_0)=-f(x_0)$

对于$-2\leqslant x_0<0$的讨论也是同理，只是那里用了不妨设$0<x_0\leqslant2$。
由于点$P(x_0,y_0)$是$f(x)$图像上任意点，都有$f(-x_0)=-f(x_0)$
故$f(x)$是奇函数。

isee

这解题行文风格越看越像yes94

kuing

回复 8# isee

本来就是

其妙

回复 8# isee
王大娘的裹脚又臭又长 ，其实就是一句话：显然可得

aipotuo

战巡

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显然有
\[f(x)=\sqrt{1-x^2}I_{x\in A}(x)-\sqrt{1-x^2}I_{x\in B}(x)\]
其中$A$为$[-1,0)∪(0,1]$的任意子集，且$A∪B=[-1,0)∪(0,1], A∩B=∅$

于是
1显然扯淡
2当然是对的，比如我选$A=[-1,0)∪(0,0.5]$
3当然是对的
4显然扯淡，令$A=[-1,-0.5)∪(0.5,1]$就是反例

5是对的
要让$f(x)$能取到$[0,1)$上面的全部数，必须要有$\pm x, x\in (0,1]$中至少一个被包含在$A$里面，同理，至少一个则要被包含在$B$里面，然而两边不能重合，因此只能一边一个，如果$x\in A$，就必然有$-x\in B$，然后必然有$f(x)=-f(-x)$

游客