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楼主 |
kuing
发表于 2013-12-26 23:51
回复 17# 其妙
群管-kuing 23:34:39
嗯，但是证明也很困难
我证到最后要证明一个很复杂的数大于0，暂时只能按计算器解决……
这是我之前打的草稿：
为方便书写，记 $a=7/10$。
\begin{align*}
5^x+2^y=a&\riff y=\frac{\ln (a-5^x)}{\ln 2}, \\
2^x+5^y=a&\riff y=\frac{\ln (a-2^x)}{\ln 5},
\end{align*}
故
\[\ln 5\ln (a-5^x)=\ln 2\ln (a-2^x),\]
令
\[f(x)=\ln 5\ln (a-5^x)-\ln 2\ln (a-2^x),x<\log _2a,\]
求导得
\[f'(x)=\frac{2^x\ln ^22}{a-2^x}-\frac{5^x\ln ^25}{a-5^x},\]
则只要证
\[(a-5^x)2^x\ln ^22>(a-2^x)5^x\ln ^25,\]
令 $x=-t$, $t>-\log _2a$，则等价于证
\[(5^ta-1)\ln ^22>(2^ta-1)\ln ^25,\]
令
\[g(t)=(5^ta-1)\ln ^22-(2^ta-1)\ln ^25,\]
求导得
\[g'(t)=(5^t\ln 2-2^t\ln 5)a\ln 2\ln 5,\]
则
\[g'(t)=0 \iff \left( \frac52 \right)^t=\frac{\ln 5}{\ln 2} \iff t=\frac{\ln \frac{\ln 5}{\ln 2}}{\ln \frac52}=\frac{\ln (\ln 5)-\ln (\ln 2)}{\ln 5-\ln 2}=t_0,\]
故
\[g(t)\geqslant g(t_0)=(5^{t_0}a-1)\ln ^22-(2^{t_0}a-1)\ln ^25,\]
然后按计算器发现最后那个数是正的…… |
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其妙
发表于 2013-12-25 23:32
