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isee
发表于 2013-12-30 15:24
综上写一个过程，不同于网上的常见的两种过程。
题目：如图，$\angle C=90^\circ$，$D$是$AB$中点，$BM \perp AB $，求证：$\angle DBN=\angle BCM$。
证明：
作$\triangle ABC$的外接圆$D$交$CM$于$F$，连接$AF$交$MN$于$N'$，则$\angle BCM=\angle DBN \iff \angle BAF =\angle DBN \iff AF \sslash NB$。
过圆心$D$作$l\perp MN$，将点$A$沿$l$对称，则其对称点 $A'$ 依然在圆$D$ 上。
连接$A'N',A'F,A'M$，又$AB$是圆$D$的直径，由上面对称作图知$\angle MDB= \angle NDA =\angle A'DM,DB=DA',DM=DM \Rightarrow \triangle MBD \cong MA'D \Rightarrow \angle DA'M=90^\circ$ 。
故$A',D,B,M$四点共圆，连$A'B$，有$\angle A'MD= \angle A'BD=\angle A'BA=\angle A'FA=\angle A'FN'$。
故$A',N',F,M$四点共圆，有$\angle MA'N'=\angle N'FC=\angle AFC=\angle ABC$。
于是$\angle MA'N'+\angle DA'N'=\angle DA'M=90^\circ=\angle ABC+\angle CAB\Rightarrow \angle DA'N'=\angle CAB=\angle DAN$。
进一步有$ \triangle N'A'D \cong \triangle NAD \Rightarrow DN'=DN$，又$DA=DB$，从而有平行四边形$ANBN'$，即有$AF \sslash NB$。
证毕。 |
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kuing
发表于 2013-12-29 14:38
