来自人教论坛的“2013个数立方和最大值”

kuing

链接：bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2874985
题目：

2。已知a1+……+a2013=0，-2<=ai<=2,1<=i<=2013.求这2013个数立方和最大值。

打成 $\LaTeX$ 先：
题目：已知 $a_1+a_2+\cdots+a_{2013}=0$，其中 $-2\leqslant a_i\leqslant2$, $1\leqslant i\leqslant2013$，求 $a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2013}^3$ 的最大值。

解：当 $x\leqslant2$ 时，由 $3x+2-x^3=(2-x)(x+1)^2\geqslant0$ 得到 $x^3\leqslant3x+2$，故
\[a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2013}^3\leqslant3(a_1+a_2+\cdots+a_{2013})+2\cdot2013=4026,\]
当 $a_1 = a_2 =\cdots= a_{671} = 2$ 且 $a_{672} = a_{673} =\cdots= a_{2013} = -1$ 时取等，故最大值就是 $4026$。

PS1、由这个解法可以看出变量下界是多余的；
PS2、这个解法只适用于变元个数为 $3k$ 个，除非更改变量和的值或上界等。

nash

今年的一道奥赛题
还见过三角带换的方法，用三倍角公式…

kuing

今年的一道奥赛题
还见过三角带换的方法，用三倍角公式…
nash 发表于 2013-9-5 00:52

soga...
PS、是代换不是带换

Tesla35

回复 2# nash
是哪的竞赛题呢？

Tesla35

回复 3# kuing

和网刊切线的文章练习第一题类似啊。。

第一章

话说一开始那个三次的式子是如何想到的？
根据取等条件？

Tesla35

看图

Tesla35

回复 6# 第一章

在楼上

爪机专用

回复  kuing

和网刊切线的文章练习第一题类似啊。。
Tesla35 发表于 2013-9-5 09:19

不类似，这个的取等条件不是全部相同，所以其实是既切线又支撑线，变元也要是3k个。
显然难度大些，也有趣些。

kuing

今年的题：已知 $a_1+a_2+\cdots+a_{2013}=0$，其中 $a_i\leqslant2$, $1\leqslant i\leqslant2013$，求 $a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2013}^3$ 的最大值。
明年的题：已知 $a_1+a_2+\cdots+a_{2014}=-1$，其中 $a_i\leqslant2$, $1\leqslant i\leqslant2014$，求 $a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2014}^3$ 的最大值。
后年的题：已知 $a_1+a_2+\cdots+a_{2015}=1$，其中 $a_i\leqslant2$, $1\leqslant i\leqslant2015$，求 $a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2015}^3$ 的最大值。
……

Tesla35

回复 10# kuing

kuing

回复 11# Tesla35

怎么样，你也来编几道看

其妙

这里也有：
blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650101mw01.html
blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650101igdd.html

Tesla35

回复 13# 其妙


    哦哦。这个好，有源头。

其妙

回复  其妙


    哦哦。这个好，有源头。
Tesla35 发表于 2013-9-5 19:00

那也不一定叫源头，或者叫源头之一

kuing

源不源不知道，难度都不在一个级别。

realnumber

引理1：$x\ge y,x+y=C$(C为常数$C\ge0$)，则$x^3+y^3$在$x-y$最大时取到最大值.
引理2：$ge x\ge y,x+y=C$(C为常数$C\le0$)，则$x^3+y^3$在$x-y$最小时取到最大值.
证明：设$x=\frac{C}{2}+t,y=\frac{C}{2}-t,t\ge0$,则$x^3+y^3=\frac{C^3}{4}+3Ct^2$,易得引理1，2的结论.
以下解决1楼问题，
由引理1，2，可得立方和取得最大值时，其中正数都为2，负数都相等，设2有2013-k个，那么负数有k个，每个都为z,有$kz+2(2013-k)=0$

那么立方和为$8(2013-k)-k(\frac{4026-2k}{k})^3$,想不下去了，...

kuing

回复 17# realnumber

嗯，这种调整法就是一般情况的处理方法。
前面其妙贴的博客链接的“题源2”就是要这样做，而1楼的题目是数据好所以能取巧用切线，至于那个二次的直接可以略过，所以那里说的几个题的难度完全不在一个级别……

第一章

大后年的题我会[/cx]

其妙

回复 19# 第一章
这么早？