一道解析几何，求几何解释！

福州小江 · 2013-9-8 22:49

Last edited by hbghlyj 2025-5-10 22:39第二问！
QQ图片20130908224749.jpg

kuing · 2013-9-8 23:28

先上下拉伸成圆，显然不改变三者长度，如图所示。

QQ截图20130908232652.png

依题意可知此时 $ABCD$ 为正方形，其边长为 $a$，则由相似比例易得
\begin{align*}
\frac{EF}{DC}&=\frac{PG}{PH}\iff EF=\frac{a\cdot PG}{PH}, \\
\frac{EA}{HD}&=\frac{AD}{PH}\iff EA=\frac{a\cdot GA}{PH}, \\
\frac{FB}{HC}&=\frac{BC}{PH}\iff FB=\frac{a\cdot GB}{PH},
\end{align*}
故
\[EF^2=EA\cdot FB\iff PG^2=GA\cdot GB,\]
显然成立，得证。

PS、少点感叹号。

睡神 · 2013-9-8 23:31

回复 1# 福州小江
波兄？

nash · 2013-9-8 23:32

犀利!!!!!!

Tesla35 · 2013-9-8 23:35

题目来源是？

福州小江 · 2013-9-8 23:38

一道江苏模拟卷上的题目

kuing · 2013-9-8 23:39

不拉伸显然也可以，最终等价为 $PA$ 与 $PB$ 斜率之积的结论。
拉伸只是为了方便用纯初中几何做。

kuing · 2015-12-5 02:03

Last edited by hbghlyj 2025-5-10 22:39刚才QQ空间看到一类似题：

如图，矩形 ABCD 中， $AB:BC=\sqrt{2}: 1$, $P$ 是以 AB 为直径的半圆上任意一点。
求证：$A E^2+B F^2=A B^2$
用类似上述证法应该可行，大家可以试下。

abababa · 2015-12-5 08:31

回复 10# kuing

以前在人教论坛初中版见过yes94出的一样的题，maven解答过，他是把$AB$从$P$点投影到$CD$上，就是$PA,PB$这两条射线分别交$CD$于$A',B'$
要证的也就是$A'C^2+B'D^2=A'B'^2$，就是要证$(A'D+AB)^2+(B'C+AB)^2=(A'D+B'C+AB)^2$
最后只要证$AB^2=2A'D\cdot B'C$
$A'D=BC\cot\angle PAB,B'C=BC\cot\angle PBA$，所以$2A'D\cdot B'C=2BC^2=AB^2$