2011年安徽预赛两题

guanmo1

1．以 $|X|$ 表示集合 $X$ 的元素个数．若有限集合 $A, B, C$ 满足 $|A \cup B|=20,|B \cup C|=30$， $|C \cup A|=40$，则 $|A \cap B \cap C|$ 的最大可能值为

4．设展开式 $(5 x+1)^n=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n, n \geq 2011$．若 $a_{2011}=\max \left(a_0, a_1, \cdots, a_n\right)$，则 $n=$

kuing

第一题旧版论坛上有记载：kkkkuingggg.haotui.com/thread-793-1-1.html

kuing

二项式那个是常规的高中题吧
首先要有
\[a_{2011}\geqslant a_{2010}\iff C_n^{2011}5^{2011}\geqslant C_n^{2010}5^{2010}\iff\frac{5^{2011}n!}{(n-2011)!2011!}\geqslant \frac{5^{2010}n!}{(n-2010)!2010!}\iff5(n-2010)\geqslant 2011,\]
由此推出 $n\geqslant 2413$，故此亦要有
\[a_{2011}\geqslant a_{2012}\iff C_n^{2011}5^{2011}\geqslant C_n^{2012}5^{2012}\iff\frac{5^{2011}n!}{(n-2011)!2011!}\geqslant \frac{5^{2012}n!}{(n-2012)!2012!}\iff2012\geqslant 5(n-2011),\]
由此推出 $n\leqslant 2413$，故此只能是 $n=2413$。

福州小江

回复 3# kuing


    唯一的特色就是排列的规律跟高中课本里是不同的，倒序排列！其他就是常规了，KK，我手写速度还比不上你打的速度！！！

福州小江

回复 4# 福州小江


错了，5x+1写成1+5x就一样了！！！这题基本判定为水题，计算量挺大的！！！

kuing

回复 4# 福州小江

一般来说手写应该还是比打代码快的吧……
现在这个可以复制粘贴的算个例外……