求函数的最大值

转化与化归

已知 $a \inR, x \in[0,2], f(x)=x^3-3 x^2+3 a x-3 a+3$，求 $|f(x)|$ 的最大值

Tesla35

使用三次函数是中心对称图形去讨论？平移回原点？

kuing

令 $x=1+t$, $t\in[-1,1]$，则 $f(1+t)=t^3+3(a-1)t+1=g(t)$，求导有 $g'(t)=3t^2+3(a-1)$。由对称性，想象一下便知：

若 $a\geqslant1$，则最大值为 $g(1)=2+3(a-1)$；

若 $0\leqslant a<1$，则最大值在 $t=-\sqrt{1-a}$ 或 $t=1$ 处取得，故最大值为 $\max\bigl\{g\bigl(-\sqrt{1-a}\bigr),g(1)\bigr\}$，即 $\max\bigl\{1+2(1-a)\sqrt{1-a},2+3(a-1)\bigr\}$；

若 $a<0$，则最大值为 $g(-1)=3(1-a)$。

综上，即
\[\max_{x\in[0,2]}\abs{f(x)}=\begin{cases}
2+3(a-1),&a\geqslant1,\\
\max\bigl\{1+2(1-a)\sqrt{1-a},2+3(a-1)\bigr\},&0\leqslant a<1,\\
3(1-a),&a<0.
\end{cases}\]

当然第二类还可以再分，不过懒得分了，目测分界线是 $a=3/4$，因为那时正好可以代三倍角公式。

其妙

楼主的方法是什么？才希望好方法

福州小江

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    今天又见三次函数中心化！学习了

转化与化归

回复 3# kuing
好方法！