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Last edited by hbghlyj 2025-5-5 18:02$n$ 对夫妻排成一队照相，要求每对夫妻都不相邻，这样的排队方法有多少种？
解：（1）至少有一对夫妻相邻的方法数：先从 $n$ 对夫妻中选出一对捆绑在一起看成一个整体，有 $C_n^1$ 种选法，这时把 $(2 n-1)$ 个人全排列，有 $(2 n-1)!$ 种排法；捆在一起的这对夫妻可以是夫前妻后，也可以是妻前夫后；共有 $C_n^1 \times(2 n-1)!\times 2$ 种方法。
（2）至少有两对夫妻相邻的方法数：先从 $n$ 对夫妻中选出两对各捆绑在一起看成一个整体，有 $C_n^2$ 种选法；这时把 $(2 n-2)$ 个人全排列，有 $(2 n-2)!$ 种排法；捆在一起的这两对夫妻可以是夫前妻后，也可以是妻前夫后；共有 $C_n^2 \times(2 n-2)!\times 2^2$ 种方法。
（3）至少有 $k$ 对夫妻相邻的方法数：先从 $n$ 对夫妻中选出 $k$ 对各捆绑在一起看成一个整体，有 $C_n^k$ 种选法；这时把 $(2 n-k)$ 个人全排列，有 $(2 n-k)!$ 种排法；捆在一起的这 $k$ 对夫妻可以是夫前妻后，也可以是妻前夫后；共有 $C_n^k \times(2 n-k)!\times 2^k$ 种方法。
由容斥原理：$n$ 对夫妻排成一队照相，要求每对夫妻都不相邻，这样的排队方法有几种？即从所有排列的方法数中减去至少出现一对夫妻相邻的方法数。即方法数 $S$ 为
\[
\begin{aligned}
& (2 n)!-C_n^1(2 n-1)!\times 2+C_n^2(2 n-2)!\times 2^2-\ldots \ldots+(-1)^k C_n^k(2 n-k)!\times 2^k+\ldots . .+(-1)^n C_n^n n!\times 2^n \\
& =(2 n)!-\sum_{k=1}^n(-1)^k C_n^k(2 n-k)!\times 2^k=\sum_{k=0}^n C_n^k(2 n-k)!\times(-2)^k
\end{aligned}
\]
\[
n=(2,3,4,5,6,7,8), S=(8,240,13824,1263360,168422400,30865121280,7445355724800)
\]
看来2楼的解答漏了组合数 |
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kuing
Posted 2013-9-11 12:45
