与向量有关的几何题

青青子衿

已知四边形$ABCD$为边长为$a$的正方形，当向量$|\vv{EA}|$，$|\vv{ED}|$满足什么条件时$\vv{EA}+\vv{ED}=\lambda\vv{EB}$

kuing

由勾股定理得
\begin{align*}
AE^2&=\left( \frac a2+x \right)^2+(2x)^2, \\
DE^2&=\left( \frac a2-x \right)^2+(2x)^2,
\end{align*}
相加相减得
\begin{align*}
AE^2+DE^2&=\frac{a^2}2+10x^2, \\
AE^2-DE^2&=2ax,
\end{align*}
消 $x$ 得
\[AE^2+DE^2=\frac{a^2}2+10\left( \frac{AE^2-DE^2}{2a} \right)^2.\]

其妙

也可以建立坐标系，只是化简出来的式子不够漂亮

isee

几何画板如何标这种箭头的？

另外，要求 这两个向量什么关系？E点直接在B与AD中点连线所在直线就行了啊。


汗，原来是模，大小关系，才看见

其妙

也可以建立坐标系，只是化简出来的式子不够漂亮
其妙 发表于 2014-1-4 17:40

上个图：

hongxian

回复 1# 青青子衿

取$AD$中点$O$,则$AO=OD=\dfrac12 a$,利用$-\cos\angle AOE=\cos\angle DOE=\dfrac{\sqrt5}{5}$，$\triangle AOE$和$\triangle DOE$中用两个余弦定理消去$OE$应该可以得到结果，后面没有算，计算估计有一点量。

isee

回复  青青子衿

取$AD$中点$O$,则$AO=OD=\dfrac12 a$,利用$-\cos\angle AOE=\cos\angle DOE=\dfrac{\sqrt ...
hongxian 发表于 2014-1-9 05:15

   


就是2楼的结果呀，被你们无视，都

其妙

就是2楼的结果呀，被你们无视，都
isee 发表于 2014-1-9 10:02

怎么无视啦？就是有视才没写过程啊，

走走看看

设AD中点是M，E点必须落在BM这条直线上。同时还要满足 Kuing推算的数据关系，并指定AE、DE的取值范围。