请教一函数问题

wenshengli

如下：

其妙

$\dfrac{19+97}{2}=58$?

wenshengli

回复 1# wenshengli

我看这个题有点问题：
19,97是方程$f(x)=x$的两根，即$cx^2+(d-a)x-b=0$的根，
可是$19×97=\frac{-b}{c}$,此与$a,b,c,d$是非负实数矛盾?

其妙

回复 3# wenshengli
那就改为实数嘛，

wenshengli

回复 4# 其妙


条件改了以后就对啦，确实是58！
谢谢！

chr93918

这是一道AIME美国数学邀请赛试题

chr93918

这是一道AIME美国数学邀请赛试题，a,b,c,d是非零实数

其妙

这是一道AIME美国数学邀请赛试题，a,b,c,d是非零实数
chr93918 发表于 2014-1-9 21:40

那估计是非零误写成非负了！还邀请赛题？太简单了吧，两个小结论秒杀，

kuing

前面那个 x \in R 也要改呢

kuing

条件似乎可以减弱。

因为 $f(x)=(ax+b)/(cx+d)$ 必定可以由反比例函数平移得到，所以它的定义域和值域都是 $\mbb R \setminus \{t\}$ 的形式。

依题意知，当 $x\ne-d/c$ 时 $f(f(x))$ 均有意义，这说明当 $x\ne-d/c$ 时 $f(x)$ 的值域一定不能包含 $-d/c$ 这个值，若不然，假如存在 $x_0\ne-d/c$ 使 $f(x_0)=-d/c$，那么 $f(f(x_0))$ 没意义。

由此可见 $f(x)$ 值域中被去掉的那个值就是 $-d/c$，也就是说 $f(x)$ 的定义域和值域一定相同，亦即平移的方向就是沿着 $y=x$ 的方向，于是……略


整个过程并未完全地使用 $f(f(x))=x$ 这个条件，只用了它有意义这一点而已。

其妙

1.若原函数和反函数相同，则$a+d=0$
2.对称中心$(-\dfrac{d}{c},\dfrac{a}{c})$的纵坐标即是函数值唯一不能取的值.
3.构造二次方程，再用韦达定理即得。