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kuing
Posted at 2014-1-6 15:01:47
话说，我没有你贴那个网址的帐号，看不到解答，还是自己研究一下先。
先否定第一个，将条件变形为
\[\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\leqslant \frac12\cdot \frac{a_{n+1}}{a_n},\]
故
\[\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\leqslant \frac1{2^n}\cdot \frac{a_2}{a_1},\]
因此
\[a_{n+2}=\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\cdot \frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot \frac{a_n}{a_{n-1}}\cdots \frac{a_2}{a_1}\cdot a_1\leqslant \frac1{2^{n(n+1)/2}}\left( \frac{a_2}{a_1} \right)^{n+1}a_1,\]
下面考虑右边的极限，由
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\frac1{2^{n(n+1)/2}}\left( \frac{a_2}{a_1} \right)^{n+1}&=\exp \lim_{n\to\infty}\ln \left( \frac1{2^{n(n+1)/2}}\left( \frac{a_2}{a_1} \right)^{n+1} \right) \\
& =\exp \lim_{n\to\infty}\left( -\frac{n(n+1)}2\ln 2+(n+1)\ln \frac{a_2}{a_1} \right),
\end{align*}
（注：$\exp x$ 表示 $e^x$）因为 $\ln2>0$，所以里面的式子是关于 $n$ 的开口向下的二次函数，故此必有
\[\lim_{n\to\infty}\left( -\frac{n(n+1)}2\ln 2+(n+1)\ln \frac{a_2}{a_1} \right)=-\infty,\]
从而无论 $a_1$, $a_2$ 取何值，都有
\[\lim_{n\to\infty}\frac1{2^{n(n+1)/2}}\left( \frac{a_2}{a_1} \right)^{n+1}a_1=0,\]
所以
\[\lim_{n\to\infty}a_{n+2}=0,\]
与正整数数列矛盾。 |
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有点……