成都市一诊填空题

reny

设 $\odot O$ 为不等边 $\triangle A B C$ 的外接圆，$\triangle A B C$ 内角 $A, B, C$ 所对边的长分别为 $a, b, c$，$P$是 $\triangle A B C$ 所在平面内的一点，且满足 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=\frac{c}{b} \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P C}+\frac{b-c}{b} P A^2$（$P$ 与 $A$ 不重合），$Q$为 $\triangle A B C$ 所在平面外一点，$Q A=Q B=Q C$ ．有下列命基：$\frac{C}{b} \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{C B}=\frac{b-c}{b} \cdot \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{B A}$ （1）苦 $Q A=Q P, \angle B A C=90^{\circ}$ ，则点 $Q$ 在平面 $A B C$ 上的射影㭘在直线 $A P^{\circ}$ 上；
（2）苦 $Q A=Q P$ ，則 $\overrightarrow{Q P} \cdot \overrightarrow{P B}=\overrightarrow{Q P} \cdot \overrightarrow{P C}$ ；

\[
\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{C P A} \cdot \overrightarrow{C B}=(b-c)
\]

（3）若 $Q A>Q P, \angle B A C=90^{\circ}$ ，则 $\frac{B P}{C P}=\frac{A B}{A C}$ ；
$\overrightarrow{C P A} \cdot \overrightarrow{C A}=b \vec{P}$

kuing

\begin{align*}
\vv{PA}\cdot\vv{PB}=\frac cb\vv{PA}\cdot\vv{PC}+\frac{b-c}b\vv{PA}^2 &\iff \vv{PA}\cdot\bigl(\vv{PB}-\vv{PA}\bigr)=\frac cb\vv{PA}\cdot\bigl(\vv{PC}-\vv{PA}\bigr) \\
&\iff \vv{PA}\cdot\frac{\vv{AB}}c=\vv{PA}\cdot\frac{\vv{AC}}b \\
&\iff \vv{PA}\cdot\left( \frac{\vv{AB}}c-\frac{\vv{AC}}b \right)=0,
\end{align*}
故 $P$ 在 $\angle BAC$ 的内角平分线上。

由 $QA=QB=QC$ 知 $Q$ 在 $\triangle ABC$ 平面上的射影就是 $O$，$QA=(>,<)QP \iff OA=(>,<)OP$。

kuing

其他的我就不说了，只是想说说选项4，没有任何交待就给出概率，那是无论如何都是错的。