多项式的系数求和

tommywong

转自：mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&t … pic=19212&show=0

计算$\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k a_k^2$其中$\sum_{k=0}^{2n} a_k x^k=(1-\sqrt{2}x+x^2)^n$

其妙

转自：

计算$\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k a_k^2$其中$\sum_{k=0}^{2n} a_k x^k=(1-\sqrt{2}x+x^2)^n$
tommywong 发表于 2014-1-8 07:50

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tommywong

数学中国“mathchina.com/cgi-bin/leobbs.cgi”
没有注册是进不去的，不过也没有需要进去。
如果他们有解法的话我会转过来。

tommywong

$\displaystyle(1-\sqrt{2}x+x^2)^n=\sum_{k=0}^{2n}a_k x^k$

可證$a_{2n-k}=a_k$

$\displaystyle(1+\sqrt{2}x+x^2)^n=\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k a_k x^k$

$\displaystyle(x^4+1)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k x^{4k}=\sum_{k=0}^{4n}x^k(\sum_{m=0}^k (-1)^m a_{k-m}a_m)$

$4k=2n\Rightarrow k=\dfrac{n}{2}$

$\displaystyle\sum_{m=0}^{2n}(-1)^m a_m^2=\sum_{m=0}^{2n}(-1)^m a_{2n-m}a_m=
\begin{cases}
C_n^{n/2}~,2n\equiv 0\pmod{4}\\
0~,2n\equiv 2\pmod{4}
\end{cases}$