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isee
Posted 2023-9-25 12:43
Last edited by hbghlyj 2025-5-16 03:34源自知乎提问
题：已知 O 为锐角三角形 ABC 的外心，且 $\cos A=\frac 13$ ，若 $\overrightarrow {AO}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$ ， $m,n\in\mathbb R$ ，则 $m+4n$ 的最大值为____.
图 1 中的点乘法是相对简明的，也许是临场最优解法.
原题15．已知 $O$ 为锐角三角形 $A B C$ 的外心，若 $\cos \angle B O C=-\frac{7}{9}, \overrightarrow{A O}=\lambda_1 \overrightarrow{A B}+\lambda_2 \overrightarrow{A C}(\lambda_1, \lambda_2 \inR)$则 $\lambda_1+4 \lambda_2$ 的最大值为
$\frac{33}{16}$
$\because \cos \angle B O C=\cos 2 \angle B A C=2 \cos ^2 \angle B A C-1=-\frac{7}{9}, \therefore \cos \angle B A C=\frac{1}{3}$ ，可得 $\overrightarrow{A O} \overrightarrow{A B}|\overrightarrow{A O}| \overrightarrow{A B} \left\lvert\, \cos B A O \quad r c \frac{\frac{1}{2} c}{r}=\frac{1}{2} c^2\right.$ ，同理可得 $\overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{A C}=\frac{1}{2} b^2$ ，在 $\overrightarrow{A O}=\lambda_1 \overrightarrow{A B}+\lambda_2 \overrightarrow{A C}$ 两边分别乘以 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$ 得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} c^2=\lambda_1 c^2+\frac{1}{3} b c \lambda_2 \\ \frac{1}{2} b^2=\frac{1}{3} b c \lambda_1+\lambda_2 b^2\end{array}\right.$ ，整理得 $\left\{\begin{array}{l}\lambda_1=\frac{9}{16}-\frac{3}{16} \cdot \frac{b}{c} \\ \lambda_2=\frac{9}{16}-\frac{3}{16} \cdot \frac{c}{b}\end{array}\right.$ ， $\therefore \lambda_1+4 \lambda_2=\frac{9}{16}-\frac{3}{16} \cdot \frac{b}{c}+4\left(\frac{9}{16}-\frac{3}{16} \cdot \frac{c}{b}\right)=\frac{45}{16}-\left(\frac{3}{16} \cdot \frac{b}{c}+\frac{3}{4} \cdot \frac{c}{b}\right) \leq \frac{45}{16}-2 \sqrt{\frac{3}{16} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{c}{b}}=\frac{33}{16}$ ，当且仅当 $\frac{3}{16} \cdot \frac{b}{c}=\frac{3}{4} \cdot \frac{c}{b}$ ，即 $b=2 c$ 等号成立，则 $\lambda_1+4 \lambda_2$ 的最大值为 $\frac{33}{16}$ ．
以外心 O 为坐标原点，建立直角坐标系 xOy，不防将 A,B,C 按逆时针排列.
可设圆 O 的方程为 $x^2+y^2=1$ ，则 \[A(\cos \alpha,\sin \alpha),B(\cos \beta,\sin \beta),C(\cos \gamma,\sin \gamma),\gamma-\beta =2A,\]
则 \begin{align*}
\overrightarrow{AO}&=(-\cos \alpha,-\sin \alpha),\\
\overrightarrow{AB}&=(\cos \beta-\cos \alpha,\sin \beta-\sin \alpha),\\
\overrightarrow {AC}&=(\cos \gamma-\cos \alpha,\sin \gamma-\sin \alpha),\\[2em]
\overrightarrow{AO}&=m\overrightarrow {AB}+n \overrightarrow{AC},\\[1ex]
&\left\{\begin{aligned} m\cos \beta-m\cos \alpha+n\cos \gamma-n\cos \alpha&=-\cos \alpha\\
m\sin \beta-m\sin \alpha+n\sin \gamma-n\sin \alpha&=-\sin \alpha, \end{aligned}\right.\\[1ex]
&\left\{\begin{aligned} m\cos \beta+n\cos \gamma&=(m+n-1)\cos \alpha\\
m\sin \beta+n\sin \gamma&=(m+n-1)\sin \alpha, \end{aligned}\right.\\
\end{align*} 两式平方相加，化简即 \begin{align*}
m^2+n^2+2mn\cos( \beta - \gamma)&=(m+n-1)^2\\[1ex]
1-2m-2n&=-2mn(1-\cos 2A)\\[1ex]
2m+2n-1&=4mn\sin^2 A,\\[1ex]
\end{align*} 代入已知数据 $\cos A=\frac13\iff \sin^2A=\frac89$ 整理为 \[(9/16-m)(9/4-4n)=9/64,\] 再由锐角三角形的条件可知外心 O 在三角形ABC 内部，于是 $m,n>0$ $m+n<1$ ，进一步知 $9/16-m>0,\,9/4-4n>0$ （否则 m+n>9/8 与 m+n<1 矛盾）.
由均值不等式，得 \[(9/16-m)+(9/4-4n)\geqslant2\sqrt{(9/16-m)(9/4-4n)}=\frac34\Rightarrow m+4n\leqslant\frac{33}{16}.\] 此处未处理取等，（当且仅当 2AB=AC 时取得等号.） |
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