来自人教群的正方体过棱中点平面计数

kuing

教师-鱼子(5755*****) 16:08:23
通过正方体至少三条棱中点的平面有多少个？
[中间省略一段]
群管-kuing  16:33:14
是81
C(12,3) - 6*3 - 3*4*3 - 3*3 - 4*(C(6,3) - 1)
群管-kuing  16:34:40
等我慢慢写来

以每三点确定一平面来计算为 $C_{12}^3$，下面计算由于四点以上共面造成重复计算需要减去的数。

首先正方体每个侧面上都有四点共面，所以要减去 $6\times3$；


这种四点面的共有 $3\times4$ 个，具体是前后方向 4 个，左右、上下亦各 4 个，所以要减去 $3\times4\times3$；


这种四点面的共有 3 个，所以要减去 $3\times3$；


这种六点面的共有 4 个，具体是每一个对应一条体对角线，每一个要减去的是 $C_6^3-1$，所以要减去 $4\times(C_6^3-1)$。

综上，结果为 $C_{12}^3 - 6\times3 - 3\times4\times3 - 3\times3 - 4\times(C_6^3-1)=81$。

kuing

正面数：

kuing

正面数和排除法都能得到同一数目，应该不会有漏了吧……[得意]