这样找矛盾行吗？

史嘉

设实数a,b,c满足$a^2+b^2+c^2=1$,证明:|a-b|,|b-c|,|a-c|中必有一个不超过(2^(1/2))/2

网络证法：
假设:|a-b|,|b-c|,|a-c|都大于√2/2
∴$(a-b)^2$＞1/2...①
$(b-c)^2$＞1/2.....②
$(a-c)^2$＞1/2.....③
且$a^2+b^2+c^2＝1$..④
化简①②③并相加,得ab+bc+ac＜1/4....⑤
又∵ab≤($a^2+b^2$)/2,bc≤($a^2+c^2$)/2,ac≤($a^2+c^2$)/2
带入⑤得$a^2+b^2+c^2$＜1/4
与已知矛盾.
∴:|a-b|,|b-c|,|a-c|中必有一个不超过(2^(1/2))/2

kuing

那显然错

史嘉

回复 2# kuing

怎么找矛盾呢？
zhidao.baidu.com/link?url=Jt9gn-JUsWuNrXZv5v_sqDn69d3ZH7Bt6kDiXZ ... 0TBAITK0a0K6XCxKNgHK

kuing

由对称性不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，若 $\abs{a-b}$, $\abs{b-c}$, $\abs{c-a}$ 都大于 $\sqrt2/2$，则 $a-b>\sqrt2/2$, $b-c>\sqrt2/2$，相加得 $a-c>\sqrt2$，则 $a^2+b^2+c^2\geqslant (a-c)^2/2>1$，矛盾。

史嘉

回复 4# kuing

倒数第二步？
麻烦老K再详点，在下愚钝的很呐

kuing

回复  kuing

倒数第二步？
麻烦老K再详点，在下愚钝的很呐
史嘉 发表于 2014-1-9 17:41

倒数第二步是指“相加得 $a-c>\sqrt2$”还是“$a^2+b^2+c^2\geqslant(a-c)^2/2$”？

史嘉

回复 6# kuing

后者，>=那步。
作差可证得，但怎么想到的呐？
非常感谢！

kuing

回复 7# 史嘉

不太记得了，大概到那里不知不觉就想到了。

其妙

回复 7# 史嘉
有时候是只可意会，不可言传！或者说，只可以意会，不好言传！
思想大致是去绝对值吧，去绝对值的方法有讨论、平方、排序（字母对称时可设序），等等。
将上述方法（不完全统计）逐一试探，如果运气好，那么一试就成功！（第一次一试就成功一般都是高手，他具有敏锐的洞察事物本质的能力，当然也有其他情况，例如运气）。
运气不好的话，试多次才成功，试多次才找到正确的解决问题的方法（这需要他具备不折不挠、顽强的非智力因素，因为失败是成功之母）。。。
一家之言

史嘉

回复 9# 其妙

谢谢您元认知式的评论！
我这样找矛盾行不行：
∣a−b∣, ∣b−c∣, ∣c−a∣ 都大于 2√/2，
平方相加得ab+bc+ac<1/4,
由基本不等式知，ab+bc+ac<=1,仅当a=b=c时成立，
而此时1<1/4，矛盾。

爪机专用

回复 10# 史嘉
不行

史嘉

回复 11# 爪机专用

只要否定了不就可以了吗？

kuing

我这样找矛盾行不行：
∣a−b∣, ∣b−c∣, ∣c−a∣ 都大于 2√/2，
平方相加得ab+bc+ac<1/4,
由基本不等式知，ab+bc+ac<=1,仅当a=b=c时成立，
而此时1<1/4，矛盾。
史嘉 发表于 2014-1-10 12:47

你要搞清楚一下逻辑。

题目要证明的是：对满足 a^2+b^2+c^2=1 的任意 a,b,c 都有 |a-b|, |b-c|, |c-a| 中至少有一个不大于 √2/2。
于是你的要用反证法，就是假设：存在满足 a^2+b^2+c^2=1 的 a,b,c 使得使 |a-b|, |b-c|, |c-a| 都大于 √2/2，然后去推矛盾。
注意你假设的是“存在”，于是你平方相加得到的 ab+bc+ac<1/4 的意思也是存在。
而你后面得到的是当 a=b=c 时 ab+bc+ac=1。
“存在满足 a^2+b^2+c^2=1 的 a,b,c 使得 ab+bc+ac<1/4”与“当 a=b=c 时 ab+bc+ac=1”，你觉得矛盾吗？

史嘉

谢谢诸位的指教，我觉得可以结束了。

其妙

回复 14# 史嘉
可不可以不用反证法，即从正面证明？

史嘉

回复 15# 其妙

    这个如何？百度的。
不妨设a>=b>=c。令m=a-b，n=b-c。
则a=c+m+n,b=c+n。
代入原方程，有$(c+m+n)^2+(c+n)^2+c^2=1$。
$3c^2+2(m+2n)c+(m^2+2mn+2n^2)$=
$1(c+(m+2n)/3)^2+(m^2+2mn+2n^2)/3-(m+2n)^2/9=1/3$
所以必有$(m^2+2mn+2n^2)/3-(m+2n)^2/9<=1/3$
两边同时乘以9，展开：
$3m^2+6mn+6n^2-m^2-4mn-4n^2<=3m^2+mn+n^2<=3/2$
由此可见m,n不可能同时大于2分之根号2.
也就是说m,n中必有一个<=2分之根号2
命题得证

kuing

回复  史嘉
可不可以不用反证法，即从正面证明？
其妙 发表于 2014-1-11 12:24

那就将反证法改写之……

由对称性不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，由 $1=a^2+b^2+c^2\geqslant (a-c)^2/2$ 得 $a-c\leqslant\sqrt2$，则
\[2\min\{\abs{a-b},\abs{b-c}\}\leqslant\abs{a-b}+\abs{b-c}=a-c\leqslant\sqrt2\riff \min\{\abs{a-b},\abs{b-c}\}\leqslant\frac{\sqrt2}2,\]
即 $\abs{a-b}$, $\abs{b-c}$ 中的较小者必定不大于 $\sqrt2/2$。

史嘉

回复 17# kuing

好方法！

kuing

回复 18# 史嘉

其实没什么实质性区别，只是写起来不一样，再加上我后来用 min 的表达技巧使得好像比较有型。

其妙

回复 19# kuing

顺便得到了$\max\{|a-b|,|b-c|,|c-a|\}=\sqrt2$，
还有其他方法，只不过以kk的为最简洁而已。