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太多/mg (2317****) 20:38:49
求max{x^2+y^2,xy+z,1/(x^2*y^2*z)^1/3}的最小值其中xyz为正数
希望后面只是打漏逗号吧，因为“xyz为正数”与“x,y,z为正数”是两码事，这里暂且当作是后者来做好了。
设
\[M=\max \left\{ x^2+y^2,xy+z,\frac1{\sqrt[3]{x^2y^2z}} \right\} ,\]
则由均值不等式有
\[(M+2M)M\geqslant (x^2+y^2+2xy+2z)\frac1{\sqrt[3]{x^2y^2z}}\geqslant \frac{4xy+2z}{\sqrt[3]{x^2y^2z}}=\frac{2(xy+xy+z)}{\sqrt[3]{x^2y^2z}}\geqslant 6,\]
即得
\[ (M+2M)M\geqslant 6\riff M\geqslant \sqrt2,\]
当 $x=y=1/\sqrt[4]2$, $z=1/\sqrt2$ 时 $M=\sqrt2$。 |
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其妙
发表于 2014-1-11 17:49
