来自某网友问的最大值的最小值

kuing

太多/mg (2317****) 20:38:49
求max{x^2+y^2,xy+z,1/(x^2*y^2*z)^1/3}的最小值其中xyz为正数

希望后面只是打漏逗号吧，因为“xyz为正数”与“x,y,z为正数”是两码事，这里暂且当作是后者来做好了。

设
\[M=\max \left\{ x^2+y^2,xy+z,\frac1{\sqrt[3]{x^2y^2z}} \right\} ,\]
则由均值不等式有
\[(M+2M)M\geqslant (x^2+y^2+2xy+2z)\frac1{\sqrt[3]{x^2y^2z}}\geqslant \frac{4xy+2z}{\sqrt[3]{x^2y^2z}}=\frac{2(xy+xy+z)}{\sqrt[3]{x^2y^2z}}\geqslant 6,\]
即得
\[ (M+2M)M\geqslant 6\riff M\geqslant \sqrt2,\]
当 $x=y=1/\sqrt[4]2$, $z=1/\sqrt2$ 时 $M=\sqrt2$。

其妙

回复 1# kuing
棒极了！
加权算术平均中还带有几何平均！

kuing

回复 2# 其妙

？我只是用了常规的均值啊

史嘉

回复 1# kuing
M还具有选择性？理解了M后，后面却是很棒！

kuing

回复 4# 史嘉

什么叫“选择性”？

史嘉

回复 5# kuing

“三个”M如此巧妙的搭配，秒！

其妙

回复  kuing
M还具有选择性？理解了M后，后面却是很棒！
史嘉 发表于 2014-1-11 14:07

选择性就是加权、权重的意思，该集合里的三个数有的权重为$\dfrac13$，有的权重为$\dfrac23$，权重为$0$，光加权算术平均还不行，还得搭上几何平均