数列题求a1范围

goft

____kuing edit in $\mathrm\LaTeX$____
设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n^2-2$, $n\in\mbb N^+$。若存在常数 $A$，对于任意 $n\in\mbb N^+$，恒有 $\abs{a_n}\leqslant A$，则 $a_1$ 的取值范围是_______。

kuing

若 $\abs{a_k}\leqslant2$，则 $\abs{a_{k+1}}=\abs{a_k^2-2}\leqslant2$，因此若 $\abs{a_1}\leqslant2$，则恒有 $\abs{a_n}\leqslant2$。

若 $\abs{a_1}=2+t$, $t>0$，我们用数归证明 $\abs{a_n}\geqslant2+nt$。
当 $n=1$ 时成立，假设当 $n=k$ 时成立，即有 $\abs{a_k}\geqslant2+kt$，则当 $n=k+1$ 时
\[\abs{a_{k+1}}=\abs{a_k^2-2}=a_k^2-2\geqslant(2+kt)^2-2=2+4kt+k^2t^2>2+(k+1)t,\]
故由数归知 $\abs{a_n}\geqslant2+nt$ 恒成立，于是当 $n\to+\infty$ 时必有 $\abs{a_n}\to+\infty$，此时不存在 $A$。

综上知 $a_1$ 的取值范围就是 $[-2,2]$。

kuing

PS、其实通项是可求的。（参考《数学空间》2011年第2期P29）

其妙

回复 2# kuing
先猜到数列模型，然后就好证明了！
有界的应该是三角函数了，无界的就是双曲函数，

goft

这样解不知道合理不，
$ a_{n+1}=a_n^2-2\le \abs{a_n} $恒成立(反之与有界矛盾)
即  $ a_n^2 +\abs{a_n}-2\le0 $
解得 $ \abs{a_n} \le 2$,
则$a_1范围是[-2,2]$

kuing

这样解不知道合理不，
$ a_{n+1}=a_n^2-2\le \abs{a_n} $恒成立(反之与有界矛盾)
即  $ a_n^2 +\abs{a_n}-2\le0 $
解得 $ \abs{a_n} \le 2$,
则$a_1范围是[-2,2]$
goft 发表于 2014-1-11 19:05

为什么反之会与有界矛盾？

goft

$f(x)=x^2-2在[0，+\infty)上是增函数，
若a_{k+1}>\abs{a_k}，a_n在n\ge k上递增
$

kuing

$f(x)=x^2-2在[0，+\infty)上是增函数，
若a_{k+1}>\abs{a_k}，a_n在n\ge k上递增
$
goft 发表于 2014-1-11 19:34

递增也未必 wu 界啊

goft

$若a_{k+1}>|a_k|>2(不等式解得),a_{k+1}=a_k^2-2>2a_k-2,$
$即a_{k+1}-2>2a_k-4,后略 $