求教一道不等式

longzaifei

$a,b,c\ge0,a^2+b^2+c^2=1,$求证： \[ \sqrt{\dfrac{a}{1+bc}}+ \sqrt{\dfrac{b}{1+ca} }+\sqrt{\dfrac{c}{1+ab}} \ge1 \]

kuing

由 Holder 不等式有
\[\left( \sum\sqrt{\frac a{1+bc}} \right)^2\sum(a^2+a^2bc)\geqslant \left( \sum a \right)^3,\]
因此只要证
\[\left( \sum a \right)^3\geqslant 1+abc\sum a,\]
由 $\left( \sum a \right)^2\geqslant \sum a^2=1\riff\sum a\geqslant 1$ 以及 $\sum ab\leqslant \sum a^2=1$，得到
\[\left( \sum a \right)^3\geqslant \left( \sum a \right)^2=1+2\sum ab\geqslant 1+2\left( \sum ab \right)^2\geqslant 1+\frac13\left( \sum ab \right)^2\geqslant 1+abc\sum a,\]
故得证。

longzaifei

K哥V5！！！！！！！谢谢