线性规划

isee

2014年1月北京东城高三上数学理科期末8





核心题干：
设$\left\{\begin{aligned}\abs x &\leqslant 2,\\ \abs y &\leqslant 2\end{aligned}\right.$则$\max\{4x+y,3x-y\}$的取值范围是(     )
A.$[-6,10]$       B.$[-7,10]$         C.$[-6,8]$        D. $[-7,8]$


个人，笨解法，Key:以$4x+7=3x-y$分界，结果 B

其妙

回复 1# isee
记$z=\max\{4x+y,3x-y\}$，则$z\geqslant 4x+y,z\geqslant 3x-y$，

两式相加得，$2z\geqslant(4x+y)+(3x-y)=7x\geqslant-14$（因为$x\geqslant-2$），

故$z\geqslant -7$。

又$4x+y\leqslant4|x|+|y|\leqslant4\times2+2=10$，

$3x-y\leqslant3|x|+|y|\leqslant3\times2+2=8$，
故$z=\max\{4x+y,3x-y\}\leqslant10$，

选$B$.

其妙

回复 2# 其妙
顺便说一下取等条件在可行域里：
当$x=-2,y=1$时，$4x+y=-7,3x-y=-7$，故$z=\max\{4x+y,3x-y\}$取最小值-7。

当$x=2,y=2$时，$4x+y=10,3x-y=4$，故此时$z=\max\{4x+y,3x-y\}$可取最大值10。

乌贼

回复 1# isee
$4x+y=3x-y$还是$4x+7=3x-y$

乌贼

$z$的取值范围是不是连续的？

爪机专用

回复 5# 乌贼
显然连续

isee

回复 4# 乌贼

是$y$不是7，这个意思：

$\max\{4x+y,3x-y\}=\left\{\begin{aligned}4x+y,&&4x+y&\geqslant 3x-y\\ 3x-y,&&4x+y&<3x-y\end{aligned}\right.$

kuing

还可以试试换元。