海叉进

爪机专用

我也想知道这东西能怎样绕过导数

╰☆ヾo.海x

。。。。。。

”证明：e^x≥1+x for all x∈R“

本来是在群里问的，后来在作业里发现了这个，看了半天老师的解答才懂。。



顺带有个小疑问。。证明时候b部分最后3行是不是不必要啊？

kuing

好吧，原来玩的是级数[阿鲁捂眼表情]理论上不依赖导数……

hbghlyj

顺带有个小疑问。。证明时候b部分最后3行是不是不必要啊？

是必要的.
the result of part(a) 应该指 交错级数$a^{2} / 2 !-a^{3} / 3 !+a^{4} / 4 !-\ldots$的两种加括号方式
一方面可以写成$(a^{2} / 2 !-a^{3} / 3 !)+(a^{4} / 4 !-a^5/5!)+\ldots$, 因为$a^n/n!$递减, 所以$a^{2} / 2 !-a^{3} / 3 !\ge0$, 因此$a^{2} / 2 !-a^{3} / 3 !+a^{4} / 4 !-\ldots\ge0$
另一方面可以写成$a^{2} / 2 !-(a^{3} / 3 !-a^{4} / 4 !)-\ldots$,因为$a^n/n!$递减, 所以$a^{3} / 3 !-a^{4} / 4 !\ge0$, 因此$a^{2} / 2 !-a^{3} / 3 !+a^{4} / 4 !-\ldots\le a^{2} / 2 !$
放到一起就得到b部分最后一行$$0 \leq \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} \leq \frac{a^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}$$即$$0≤e^x-1-x≤\frac{x^{2}}2$$