6个相同小球

realnumber

河北唐山齐建民<maths352@qq.com> 12:37:31
6个相同小球放入编号为1，2，3，4的四个不同盒子，每个盒子所放球数不超过盒子编号，共有多少种放法?
推广下，希望是个好问题，
n个一样的球，放入m个编号的盒子，每个盒子所放球数不超过盒子编号
求放法数.

tommywong

$E([1,2]_1+[1,3]_1+[1,4]_1+[1,5]_1=10)=C_9^3-C_7^3-C_6^3-C_5^3-C_4^3+C_4^3+C_3^3=20$

kuing

如果都允许不放，即 $(1+x)(1+x+x^2)(1+x+x^2+x^3)(1+x+x^2+x^3+x^4)$ 展开式的 $x^6$ 的系数，展开知结果是 $20$。

其妙

回复 2# tommywong
这是什么方法？

tommywong

$E(X=\sum_{i=1}^m [1,n_i]_1)=\sum_{r_i=0}^1 (-1)^{r_1+r_2+...+r_m} C_{X-1-n_1r_1-n_2r_2-...-n_mr_m}^{m-1}$

乌贼

回复 4# 其妙
我2，3楼都看不懂

其妙

回复 5# tommywong

战巡

回复 6# 乌贼


2楼那个不知道是什么，估计是楼主自己搞出来的一套符号，得等他自己回来给定义

k的做法很巧妙，因为实际上整个问题等价于$a+b+c+d=6, a\le 1, b\le 2, c\le 3, d\le 4$有多少组非负整数解
那么在考察他那个多项式的$x^6$系数时，$1+x$可以贡献0次或1次，$1+x+x^2$可以贡献0,1或2次，以此类推，最后得到的模型跟上面完全等价

其实不允许放空也行，把式子里面的1全去掉就行了

其妙

如果改成：6个相同小球放入编号为1，2，3，4的四个不同盒子，每个盒子所放球数不少于该盒子编号，共有多少种放法?
这就是常规问题了。

战巡

回复 9# 其妙


...........
你不觉得这是不可能的么.........
这种问题得分两类，n个球m个盒子，$n\le \frac{m(m+1)}{2}$是一种，反过来另一种

其妙

回复 10# 战巡
，如果改成：16个相同小球放入编号为1，2，3，4的四个不同盒子，每个盒子所放球数不少于该盒子编号，共有多少种放法?

kuing

回复 11# 其妙

方法还是一样的啊，多项式展开总可以

其妙

回复 12# kuing
你的母函数方法吧，
除此外可以用隔板法或者用不定方程的结论

tommywong

回复 11# 其妙


$E([1,\infty]_1+[2,\infty]_1+[3,\infty]_1+[4,\infty]_1=16)=E([1,\infty]_1+[1,\infty]_1+[1,\infty]_1+[1,\infty]_1=10)=C_9^3$

$\frac{1}{(1-x)^4}=\sum_{p=0}^{\infty} C_{3+p}^3 x^p$中$x^6$的系数

其妙

回复 14# tommywong
那不是和kk的母函数差不多哦

走走看看

回复 2# tommywong


    配上4个球，使得每个盒子都不空，10个球分给4个盒子，是标准的隔板法。

    但是这种隔板法后，有不少盒子中所装的球的数目超过序号，需要排除的。

    可以把您的排除思路说一说吗？我看不懂。自己试着排除做不到，因为有太多的交叉。

走走看看

tommywong在2楼中的算法比较新奇。

Kuing在3楼的算法逻辑简单，但这么多项相乘，怎么能取出x的6次方不重不漏呢？觉得这个好像只有用软件才能算得准。

2楼是怎么思考的？3楼手工算怎么样才能不算错呢？