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解析几何几个互逆命题的证明
问题一：已知直线$l$与椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$相交于$M,N$两点，$P$为$MN$的中点，$O$为坐标原点，记直线$MN$的斜率$k_1$为，$OP$的斜率$k_2$为，证明：$k_1•k_2=-\frac{b^2}{a^2}$.
问题一的互逆问题：已知直线$l$与椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$相交于$M,N$两点，$O$为坐标原点，记直线$MN$的斜率$k_1$为，$OP$的斜率$k_2$为，若$k_1•k_2=-\frac{b^2}{a^2}$,证明：$P$为$MN$的中点.
问题二：已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，椭圆上一点$A$点的坐标为$(x_0,y_0)$，过$A$点的两条弦$AB$与$AC$的倾斜角互补，求证：直线$BC$的斜率为定值
问题二的互逆问题：已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，椭圆上一点$A$点的坐标为$(x_0,y_0)$，斜率为$k$直线$BC$交椭圆于$B,C$两点，求证：过$A$点的两条弦$AB$与$AC$的倾斜角互补
问题三：已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$左顶点为$D$，$E,F$为椭圆上两动点，若直线$EF$过点$ (\frac{a(b^2-a^2)}{a^2+b^2}，0)$,求证：$∠EDF$为定值.
问题三的互逆问题：已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$左顶点为$D$，$E,F$为椭圆上两动点，若$∠EDF$为$\frac{π}{2}$,求证：直线$EF$过点$ (\frac{a(b^2-a^2)}{a^2+b^2}，0)$.
问题四：已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，椭圆上一点$A$点的坐标为$(x_0,y_0)$，过$A$点的两条弦$AB$与$AC$交椭圆于$A,B$两点，若$k_1•k_2=m$，求证：直线$BC$过定点
问题四的互逆问题：已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，椭圆上一点$A$点的坐标为$(x_0,y_0)$，过$A$点的两条弦$AB$与$AC$交椭圆于$A,B$两点，若直线$BC$过定点$(\frac{ma^2+b^2}{ma^2-b^2}x_0,\frac{ma^2+b^2}{a^2-b^2}y_0)$，求证：$k_1•k_2=m$ |
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第一章
发表于 2014-1-20 11:59
kuing
发表于 2014-1-20 13:55
