函数解答题(谢谢，完美解决)

史嘉

烺活歌 $f(x)=e^x+\sin x, g(x)=x-2$ ，
(1)求证:函数y=f(x)在$[0,+\infty)$ 上单调递增。
(2)设 $P\left(x_1, f\left(x_1\right)\right), Q\left(x_2, g\left(x_2\right)\right)(x_1 \geq 0, x_2>0)$，若直线PQ//x轴，求 $P, Q$ 两点间的最短距离
第二问，如何入手？

史嘉

回复 1# 史嘉

考虑f’（x）=1，求出x1，可是求不出呀。
帮忙呀/////

其妙

回复 2# 史嘉
点到直线的距离公式，最后最小距离为$3-0=3$，答案对不对？

史嘉

回复 3# 其妙
谢谢！
有思路就好，我没答案，明天应该有。

史嘉

回复 3# 其妙

没看懂？！

史嘉

回复 3# 其妙
点到直线的距离公式？

其妙

回复 6# 史嘉
今天这个网时断时续的，好麻烦啊！
$|PQ|=y-x+2=e^x+\sin x-x+2=h(x)$，故$h'(x)=e^x+\cos x-1$，$h''(x)=e^x-\sin x\geqslant 1+x-\sin x\geqslant x\geqslant0$，

故$h'(x)=e^x+\cos x-1\geqslant h'(0)=1>0$，故$h(x)=e^x+\sin x-x+2\geqslant h(0)=3$，

当且仅当$x=0$取等号。不知道对不对？我最怕做没答案的题了，一不小心计算就失误，我常常计算失误。

kuing

这没什么特别，也没什么难的啊

设 $e^a+\sin a=b-2$, $a\geqslant 0$, $b>0$，则
\[b-a=e^a+\sin a+2-a=g(a),\]
求导得
\[g'(a)=e^a+\cos a-1,\]
则 $g'(0)=1$，再求导得
\[g''(a)=e^a-\sin a\geqslant 1-\sin a\geqslant 0,\]
故 $g'(a)>0$，故 $g(a)\geqslant g(0)=3$。

kuing

咦，发慢了，完全一样。
下次常规题还是不写过程了……

乌贼

不会吧
$P(x_0,e^x_0+\sin x_0),Q(2+e^x_0+\sin x_0,e^x_0+\sin x_0)$
\[|PQ|=2+e^x_0+\sin x_0-x_0\]
令\[h(x_0)=2+e^{x_0}+\sin x_0-x_0\]\[h'(x_0)=e^{x_0}+\cos x_0-1\]\[h''(x-0)=e^{x_0}-\sin x_0>0 \riff h'(x_0)_{\min}=h'(0)=1>0\riff\]\[h(x_0)_{\min}=h(0)=3\]

kuing

不会吧
$P(x_0,e^x_0+\sin x_0),Q(2+e^x_0+\sin x_0,e^x_0+\sin x_0)$
\[|PQ|=2+e^x_0+\sin x_0-x_0\]
令$h(x_0)=2+ ...
乌贼 发表于 2014-1-22 00:39

嘿嘿，还有比我更慢的……

乌贼

回复 11# kuing
我是打字慢

kuing

回复 12# 乌贼

这也说不准，因为我们看到的只是发布时间，看不到点击“回复”的时间，不知道期间用时到底多少，所以或者我打得比你还慢……

乌贼

回复 13# kuing
肯定是我用的时间多，又是查求导公式，又翻$LaTeX$公式的基本输入……

爪机专用

回复 14# 乌贼
求导就是直接一撇。。这也不记得???

乌贼

回复 15# 爪机专用
是$e^x,\cos x,\sin x$求导后等于什么

爪机专用

回复 16# 乌贼
哦我还以为你说的是代码。。。汗。。。不过这也应该很熟啊。。

史嘉

谢谢诸位，明白了，方法都很好。
只是，12点网络自动断掉，所以没回复。

其妙

回复  kuing
肯定是我用的时间多，又是查求导公式，又翻$LaTeX$公式的基本输入…… ...
乌贼 发表于 2014-1-22 01:10

我以前也是，经常翻kk置顶的$LaTeX$公式的基本输入，现在还时不时的翻公式，最气人的是昨天的网时断时续的，这题也不难。