证明$\cos1°$是无理数

kuing

回复 23# 007

所以我之前已经自定义了命令 \du （其他自定义命令见 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=6）

第一章

还在搞这题……
我以前也写过的blog.sina.com.cn/s/blog_488212540101iiet.html

uk702

回复 9# 青青子衿

不知有没有开三次方 + 开平方不能解决的问题，比如将 1° 再三等分，五等分，七等分，...
假若开三次方不够，那有没有没有“根式”不能解决的问题？

青青子衿

回复 24# uk702

回复  青青子衿
不知有没有开三次方 + 开平方不能解决的问题
uk702 发表于 2021-12-6 08:51

针对第一个问题，答案是有的。与十一次分圆多项式有关的余弦值，会遇到开五次根。
\begin{align*}
\,\cos\left(\dfrac{2\pi}{11}\right)&=\frac{1}{10}\Bigg[  \sqrt[5]{\frac{11}{4}\left(89+25\sqrt{5}+5i\sqrt{410-178\sqrt{5}}\right)}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}+i\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}\,\right)\\  &\qquad\qquad\>\>+\sqrt[5]{\frac{11}{4}\left(89-25\sqrt{5}+5i\sqrt{410+178\sqrt{5}}\right)}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}+i\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}\,\right)\\  &\qquad\qquad\qquad\>\>-\sqrt[5]{\frac{11}{4}\left(89-25\sqrt{5}-5i\sqrt{410+178\sqrt{5}}\right)}\left(-\frac{1+\sqrt{5}}{4}+i\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}\,\right)\\  &\qquad\qquad\qquad\qquad\quad-\sqrt[5]{\frac{11}{4}\left(89+25\sqrt{5}-5i\sqrt{410-178\sqrt{5}}\right)}\left(-\frac{1+\sqrt{5}}{4}+i\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}\,\right)-1\Bigg]\qquad\\
\end{align*}

uk702

回复 24# 青青子衿

多谢！关于第二个问题，搜了一下，有说分圆多项式都有根式解，见 douban.com/group/topic/83758948/#8797138vPm3c97