来自人教群的立几小题

kuing

学生-86鱼(1608******)  17:07:28

由于侧棱相等故是正三棱锥，于是易见 $\vv{OA}$, $\vv{OB}$, $\vv{OC}$ 两两夹角相同，设为 $\theta$，又设球半径为 $R$，则对已知等式两边平方有
\[\bigl(\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}\bigr)^2=\vv{VO}^2 \riff 3R^2+6R^2\cos\theta=R^2,\]
又
\[\bigl(\vv{OA}-\vv{OB}\bigr)^2=\vv{AB}^2=4^2\riff 2R^2-2R^2\cos\theta=4^2,\]
解得
\[\cos\theta=-\frac13,R=\sqrt6,\]
所以球 $O$ 的体积为
\[\frac43\pi R^3=8\pi\sqrt6.\]

kuing

话说，这样做是不是秒了？
设此四面体的重心为 $G$，则
\[\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}=\vv{VO} \iff \vv{OG}+\vv{GA}+\vv{OG}+\vv{GB}+\vv{OG}+\vv{GC}+\vv{OG}+\vv{GV}=\vv0 \iff \vv{OG}=\vv0,\]
即此四面体的重心与外心重合，因此为正四面体？？（有没有这样的定理？）

hongxian

回复 2# kuing

反正在"底面是正三角形,侧棱长又都相等"的条件下应该是成立的.

爪机专用

仅重心与外心重合而没有别的条件的话，的确有反例，也就是说2楼没有那个定理。
重心与外心重合能推出对棱相等，所以反例可以在长方体里构造。

kuing

也就是说题目中前面的条件不完全多余，但也有多余，比如说侧棱相等可以去掉。

kuing

反过来，对棱相等的四面体的外心与重心是不是也一定重合？看上去是……

其妙

已知那个向量的条件得到的感觉本来是重心，恰巧又是正三棱锥，那就只有四星合一了（外内重垂心）