由数列的周期性想到的函数周期性

青青子衿

$a_n=\frac{b}{a_{n+1}a_{n-1}}$的周期为3
\[f(n)=\frac{b}{f(n+m)f(n-m)}\]
的周期为$3m$
那\[f(n)=\frac{b}{f(n+m)f(n-m)f(n-m)}\]？？

其妙

青青子衿

其妙 发表于 2014-2-3 14:02

$a_n=\frac{b}{a_{n+1}a_{n-1}}$的周期为3
\[f(n)=\frac{b}{f(n+m)f(n-m)}\]
的周期为$3m$
青青子衿 发表于 2014-2-2 18:17

\[f(n)=\frac{b}{f(n+m)f(n-m)}\]
\[f(n+m)=\frac{b}{f(n+2m)f(n)}\]
\[f(n+m)=\frac{b}{f(n+2m)\frac{b}{f(n+m)f(n-m)}}=\frac{f(n+m)f(n-m)}{f(n+2m)}\]
\[f(n+2m)=f(n-m)\]\[f(n+3m)=f(n)\]

其妙

因为$b=f(n-m)f(n)f(n+m)$

故$b=f(n)f(n+m)f(n+2m)=f(n+m)f(n+2m)f(n+3m)$

所以，$f(n+3m)=f(n)$