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kuing
Posted at 2014-2-2 22:06:30
记
\[S=\left|\frac{a_2+a_3+\cdots+a_n}n-a_1\right|+\left|\frac{a_3+a_4+\cdots+a_1}n-a_2\right|+\cdots+\left|\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}n-a_n\right|,\]
任意选取一个变量 $a_i$，将其余 $n-1$ 个变量固定，此时 $S$ 关于 $a_i$ 的函数图象为线段或者折线，由于绝对值前均为正，故折线必然是“开口向上”的，由此可见，要求最大值只要验证各 $a_i=\pm1$ 的情况。
不妨设有 $k$ 个 $1$，有 $n-k$ 个 $-1$，则
\begin{align*}
S&=k\left|\frac{k-1-(n-k)}n-1\right|+(n-k)\left|\frac{k-(n-k-1)}n+1\right|\\
&=\frac{k(2n-2k+1)}n+\frac{(n-k)(2k+1)}n\\
&=\frac{4k(n-k)}n+1,
\end{align*}
故此当 $k=[n/2]$ 时 $S$ 取最大值为
\[\frac4n\left[\frac n2\right]\left(n-\left[\frac n2\right]\right)+1.\] |
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其妙
Posted at 2014-2-3 14:00:22
