定积分小题

史嘉

\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{2}\sin^2xdx=?
\]

史嘉

这个怎么做来着？
积分变量，还是换元啥的，都忘了。

史嘉

这个怎么找的？$\int \frac{x}{2} \sin ^2 x d x=-\frac{1}{4} x \cos x \sin x+\frac{x^2}{8}-\frac{1}{8} \cos ^2 x$

其妙

分部积分？

kuing

你补补高数就行了，这是基础题
\begin{align*}
\int\frac x2\sin^2x\rmd x&=\int\frac x4-\frac{x\cos2x}4\rmd x\\
& =\frac{x^2}8-\frac18\int x\rmd{\sin2x} \\
& =\frac{x^2}8-\frac18x\sin2x+\frac18\int\sin2x\rmd x \\
& =\frac{x^2}8-\frac18x\sin2x-\frac1{16}\cos2x+C.
\end{align*}

史嘉

回复 4# 其妙

超出高中范畴，算了吧。呵呵，谢谢！

kuing

高中也能有高中讲法，首先第一步降次
\[\int\frac x2\sin^2x\rmd x=\int\frac x4-\frac{x\cos2x}4\rmd x =\frac{x^2}8-\frac14\int x\cos2x\rmd x,\]
于是只要找 $x\cos2x$ 的原函数，想到 $\cos2x$ 的原函数是 $\frac12\sin2x$，于是考查 $\frac12x\sin2x$ 的导数如何，有
\[\left(\frac12x\sin2x\right)'=x\cos2x+\frac12\sin2x,\]
多了一个 $\frac12\sin2x$ 出来，于是只要找到 $-\frac12\sin2x$ 的原函数补上就能消掉它，显然它的原函数为 $\frac14\cos2x$，于是就有
\[\left(\frac12x\sin2x+\frac14\cos2x\right)'=x\cos2x,\]
结果一样。

史嘉

回复 7# kuing
哦，高中换元积分法都不讲。
不过找原函数的方法，确实该练习一下。
谢谢老K！

kuing

回复 8# 史嘉

高中的通常靠观察，或者靠几何意义（其实也是观察）。

PS、我编辑了1楼，打了代码，楼主可以编辑看看如何输入。

史嘉

回复 9# kuing

谢谢，常用的是应该掌握住。
每次都是翻你的手册，多次调整。