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[函数] 定积分小题

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史嘉 发表于 2014-2-8 22:19 |阅读模式
本帖最后由 史嘉 于 2014-2-10 12:40 编辑 \[
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{2}\sin^2xdx=?
\]
111.jpg

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 楼主| 史嘉 发表于 2014-2-8 22:20
这个怎么做来着?
积分变量,还是换元啥的,都忘了。

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 楼主| 史嘉 发表于 2014-2-8 22:23
这个怎么找的?
222.jpg

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其妙 发表于 2014-2-8 22:28
分部积分?

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kuing 发表于 2014-2-8 22:36
你补补高数就行了,这是基础题
\begin{align*}
\int\frac x2\sin^2x\rmd x&=\int\frac x4-\frac{x\cos2x}4\rmd x\\
& =\frac{x^2}8-\frac18\int x\rmd{\sin2x} \\
& =\frac{x^2}8-\frac18x\sin2x+\frac18\int\sin2x\rmd x \\
& =\frac{x^2}8-\frac18x\sin2x-\frac1{16}\cos2x+C.
\end{align*}

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 楼主| 史嘉 发表于 2014-2-8 22:40
回复 4# 其妙

超出高中范畴,算了吧。呵呵,谢谢!

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kuing 发表于 2014-2-8 23:26
高中也能有高中讲法,首先第一步降次
\[\int\frac x2\sin^2x\rmd x=\int\frac x4-\frac{x\cos2x}4\rmd x =\frac{x^2}8-\frac14\int x\cos2x\rmd x,\]
于是只要找 $x\cos2x$ 的原函数,想到 $\cos2x$ 的原函数是 $\frac12\sin2x$,于是考查 $\frac12x\sin2x$ 的导数如何,有
\[\left(\frac12x\sin2x\right)'=x\cos2x+\frac12\sin2x,\]
多了一个 $\frac12\sin2x$ 出来,于是只要找到 $-\frac12\sin2x$ 的原函数补上就能消掉它,显然它的原函数为 $\frac14\cos2x$,于是就有
\[\left(\frac12x\sin2x+\frac14\cos2x\right)'=x\cos2x,\]
结果一样。

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 楼主| 史嘉 发表于 2014-2-9 18:05
回复 7# kuing
哦,高中换元积分法都不讲。
不过找原函数的方法,确实该练习一下。
谢谢老K!

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kuing 发表于 2014-2-9 23:05
回复 8# 史嘉

高中的通常靠观察,或者靠几何意义(其实也是观察)。

PS、我编辑了1楼,打了代码,楼主可以编辑看看如何输入。

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 楼主| 史嘉 发表于 2014-2-10 12:41
回复 9# kuing

谢谢,常用的是应该掌握住。
每次都是翻你的手册,多次调整。

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