一道与充要条件有关的二次函数范围题

郝酒

已知$a>0$,函数$f(x)=ax-bx^2$
(1) 当$b>1$时，证明：对任意满足$0\leq x\leq 1$的$x$，$\left|f(x)\right|\leq 1$ 的充要条件是$b-1\leq a\leq 2\sqrt{b}$.
(2) 当$0<b\leq 1$时， 讨论：对任意满足$0\leq x \leq 1$的$x$，$\left|f(x)\right|\leq 1$ 的充要条件.
贴一个解答（改变于资料上的标答），觉得不是很顺畅。

两个圈的地方不好想啊

有没有好的解答啊？
另外想问下此题出处.

郝酒

吴剑老师给出了解答，按他的思路书写如下
当$b>1$时，
$$\left|f(x)\right|\leq 1 \Leftrightarrow -1\leq ax-bx^2\leq 1 $$
$$\Leftrightarrow bx-\frac{1}{x}\leq  a\leq \frac{1}{x}+bx\quad(0\leq x\leq 1)$$
$$\Leftrightarrow \left(bx-\frac{1}{x}\right)_\min\leq  a\leq \left(\frac{1}{x}+bx\right)_\max$$
$$\Leftrightarrow b-1\leq a\leq 2\sqrt{b}$$
当$b\leq 1$时，
$$\left|f(x)\right|\leq 1 \Leftrightarrow -1\leq ax-bx^2\leq 1 $$
$$\Leftrightarrow bx-\frac{1}{x}\leq  a\leq \frac{1}{x}+bx\quad(0\leq x\leq 1)$$
$$\Leftrightarrow \left(bx-\frac{1}{x}\right)_\min\leq  a\leq \left(\frac{1}{x}+bx\right)_\max$$
$$\Leftrightarrow b-1\leq a\leq 2\sqrt{b}$$
而$b\leq 1,a>0$ 所以 $0<a\leq 1+b$

乌贼

回复 2# 郝酒
这个可以\[a\leqslant f(x)\iff a\leqslant f(x)_{\max}\]
这个行吗？\[f(x)\leqslant a\iff f(x)_{\min}\leqslant a\]

乌贼

回复 3# 乌贼
可以的

其妙

郝酒的latex写的还好啊！

郝酒

用markdown + mathjax 写的，有兴趣的朋友可以尝试下。
stackedit.io/

其妙

回复 6# 郝酒
英文的，看不懂啊！
我还是用kuing的草稿本，就在左下方。

kuing

回复 2# 郝酒

min 和 max 反了吧

Tesla35

恩。这道题一定要lu.

其妙

回复 9# Tesla35
是高考题吧？

Tesla35

回复 10# 其妙


    来源未知。

chr93918

2002年压轴题

其妙

2002年压轴题
chr93918 发表于 2014-10-11 09:17

看来猜得不错