三角 $\sin x=x\cos y$

guanmo1

如图


____kuing edit in $\mathrm\LaTeX$____
若 $0<x$, $y<\pi/2$，且 $\sin x=x\cos y$，则
A. $y<x/4$    B. $x/4<y<x/2$    C. $x/2<y<x$    A. $x<y$

realnumber

假设$y\ge x$,那么$\cos{y}\le \cos{x}$,
那么$\sin{x}=x\cos{y}\le x\cos{x}$,得到$\tan{x}\le x$矛盾.
因此$y<x$
假设$y\le \frac{x}{2}$,则$\cos{y}\ge \cos{\frac{x}{2}}$
那么$\sin{x}=x\cos{y}\ge x\cos{\frac{x}{2}}$,得到$\sin{\frac{x}{2}}\ge \frac{x}{2}$矛盾.
因此$y>\frac{x}{2}$
说明$\forall x\in [0,\frac{\pi}{2}),\tan{x}\ge x \ge \sin{x}$,可以用导数证明或画单位圆.

其妙

楼上的方法不错。
kuing居然这次不给过程了，

其妙

换一种格式书写：
因为$x\cos y=\sin x=2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2<2\cdot\dfrac x2\cos\dfrac x2=x\cos\dfrac x2$，故$\cos y<\cos\dfrac x2$，即：$y>\dfrac x2$.

又 $\cos y=\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{\tan x\cos x}{x}>\dfrac{ x\cos x}{x}=\cos x$，故$y<x$.

于是，$\dfrac x2<y<x$.

kuing

回复 3# 其妙

我那时还没起床，不然我就翻群聊记录了，我记得群里聊过这题的。

其妙

回复 5# kuing
哦，你前几天做过这种类似题。

kuing

回复 6# 其妙

前几天做那道题的时候也没想起这道题，不然也可能会想到后来那种方法

第一章

去年在群里聊过，零点存在性定理

第一章

其妙

回复 9# 第一章
这个做法看起来挺轻松地，只是包装的有点好。
好像本质还是那两个不等式。

第一章

是的