一个三角函数的最值

aishuxue

求$y=\sin\theta(2\cos\theta+1),\theta\in[0,\dfrac{\pi}{3}]$的最大值？(不用导数)

kuing

待定 $a$, $b>0$，由均值有
\begin{align*}
y^2&=(1-\cos^2\theta)(2\cos\theta +1)^2 \\
& =\frac1{ab}(a+a\cos \theta )(b-b\cos \theta )(2\cos \theta +1)(2\cos \theta +1) \\
& \leqslant \frac1{ab}\left( \frac{a+b+2+(a-b+4)\cos \theta }4 \right)^4,
\end{align*}
令
\[
\left\{\begin{aligned}
& a-b+4=0,\\
& a+a\cos \theta =b-b\cos \theta =2\cos \theta +1,
\end{aligned}\right.
\]
解得
\[a=\frac{\sqrt{33}-3}2,b=\frac{\sqrt{33}+5}2,\cos \theta =\frac{\sqrt{33}-1}8,\]
代入验证即得。

kuing

突然觉得我以前写过一样的东西……

Tesla35

回复 3# kuing


    你也老了，不行了，做过的事都不记得了

kuing

回复 4# Tesla35

isee

人教那边了，好像还有一般情况

kuing

回复 6# isee

有贴子咩？

Tesla35

回复 5# kuing


    也可能是lu太多，记忆力衰弱了

kuing

回复 8# Tesla35
还真是……原来已经 lu 过的……bbs.pep.com.cn/thread-667531-1-1.html……

其妙

回复  kuing


    也可能是lu太多，记忆力衰弱了
Tesla35 发表于 2014-2-25 00:23

这个35经历过了，所以经验丰富啊，说的一针见血，

Tesla35

回复 10# 其妙


   

力工

在题目范围内，直接用单调性就可以了吧。

kuing

回复 12# 力工

写写看

hbghlyj

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kuing

hbghlyj 发表于 2023-3-14 01:51
https://www.bookmarkearth.com/folder/bb9a8b52ec9511ecbec45254005bdbf9
原文如下:
文件夹：人教数学数列 ...

人教的链接全挂了，这个贴原文无意义啊