南通调研的解析几何

aishuxue

这个题目若直接从设直线的方程入手，如何计算？

kuing

作拉伸变换，在 $y$ 轴方向上拉长到原来的两倍（即 $y\to2y$），此时，椭圆变为圆，点 $P(1,1/4)$ 变为 $P'(1,1/2)$。
由于变换后所有直线的斜率都变为原来的两倍，而由条件知变换前 $AB\sslash CD$，所以变换后亦有 $A'B'\sslash C'D'$，由此可见 $A'B'C'D'$ 为等腰梯形，从而易知 $OP'\perp A'B'$，于是 $k_{A'B'}=-1/k_{OP'}=-2$，所以变换前 $k_{AB}=-1$。

kuing

由以上解法可知，题目的条件是有多余成份的，比如说“$\vv{AP}=2\vv{PC}$, $\vv{BP}=2\vv{PD}$”可以弱化成“$\vv{AP}=\lambda\vv{PC}$, $\vv{BP}=\lambda\vv{PD}$”而不需要知道具体的长度比值，或者干脆直接改成  $AB\sslash CD$。椭圆的方程也不需要用到具体的数值，只要知道离心率就够了。